应力和应变变换

应力和应变变换MA02139，剑桥麻省理工学院材料科学与工程系DavidRoylance2001年5月14日引言坐标轴旋转时的变换是材料力学中昀常见的问题之一。例如，我们已经知道作用在x和平面上y1的应力，但其实更感兴趣的是与x轴有某一夹角（比方说30º，如图1所示）的平面上的应力，因为这些平面可能是昀密堆积（close-packed）的原子平面2，沿这些平面容易发生滑移；或者是两块木材以这个角度“嵌接”后胶合在一起。因此我们要寻找一种把应力变换到新的平面的方法。yx′′图1二维情况下坐标轴的旋转这种变换在应力和应变分析中是非常重要的，这既因为在计算单元体的临界值时需要这些变换，也因为从它们的变换性质中，我们可以很清楚地看到应力和应变的张量属性。其他一些量，如转动惯量和曲率，其变换方式也与应力和应变类似。所有这些量都是二阶张量，在本模块的后面部分我们将略述这一重要概念。直接方法应力变换的规则可直接从分析静力平衡得出。例如，考虑图2所示的单轴拉伸情况，此1指外法线方向分别沿x和轴的平面，下同。——译者注y2晶体总是沿着确定的晶面和晶向发生滑移，通常就是沿昀密堆积的平面和方向。这是因为在这些平面和方向上，原子间距昀短，键合昀紧，所以它们是昀强的；而这些平面之间，间距昀大，因此是它们键合昀弱的地方，沿这样的平面和方向滑移，使原子排列发生混乱的程度昀小，从而也就易于发生滑移。上述说明可参见固体物理的相关内容。——译者注1时除yσ之外的所有应力均为零。如果想知道某斜截面上的应力y′σ和yx′′τ，可用该斜截面和横截面从试样中“切出”一个三角形隔离体，并画出其受力图。这里的关键是要注意：这些被变换应力所作用的截面面积不同于垂直轴的截面面积，所以截面面积和作用在截面上的应力都需要“变换”。由方向（垂直于斜截面的方向）的受力平衡可得：yy′图2拉伸试样斜截面上的应力()⎟⎠⎞⎜⎝⎛=′θσθσcoscosAAyyθσσ2cosyy=′(1)类似地，由斜截面切线方向的受力平衡可得θθστcossinyyx=′′(2)例1单向强化的复合材料单层板，沿纤维方向的强度极限为1ˆσ，垂直于纤维方向的强度极限为2ˆσ，剪切强度极限为12ˆτ。记纤维方向和拉应力yσ作用方向之间的夹角为θ，随着θ的增大，由式（1）可知，沿纤维方向的应力将减小。如果仅纤维断裂就会使单层板失效，那么根据θσσ21,cosˆ=by，引起失效所需的应力by,σ将随偏离角θ的增大而增大。但是，由式（2）给出的切应力也随θ的增大而增大，所以当θ角增大时，因剪切破坏所需的应力yσ将减小。强度极限by,σ是引起纤维方向破坏或剪切破坏所需的两个应力值中的较小值，因此只要有很小的偏离角，强度极限就因剪切破坏的限制而难以提高。实际上，作为测量复合材料层间剪切强度的方法，拉伸试样中，拉力对纤维轴线的偏离为。当方向角接近90º时，断裂取决于垂直于纤维方向强度。图3所示为玻璃纤维–环氧树脂基体复合材料o153的实验数据，这些数据与上述简单的表达式基本吻合，但并不完全一致。3R.M.Jones,复合材料力学，MechanicsofCompositeMaterials,McGraw-Hill,1975.2图3在一维的复合材料单层板内，拉力与纤维方向的偏角为θ时的强度极限by,σ图4平面应力状态下斜截面上的应力将上法推广到在初始的xy平面内应力xσ、yσ和xyτ已知的一般情况，如图4所示（见习题2），作类似的推导可得：()()θθτθθσστθθτθσθσσθθτθσθσσ222222sincoscossincossin2cossincossin2sincos−+−=−+=++=′′′′xyxyyxxyyxyxyyxx(3)这些关系式可用伪矢量–矩阵形式写成⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧′′′′xyyxyxyxscscscsccsscscτσστσσ22222222(4)式中，θθsincos==sc，。进一步可简写为σσA=′(5)式中，A是式（4）方括号中的变换矩阵。虽然式（4）给出的A的特定形式只适用于二维情况（平面应力状态），而且是在直角坐标系内，但式（5）对二维和三维应力状态都适用。用数学或几何方法（见习题3和4）可证明，无限小应变分量可按几乎同样的关系式进行变换：3⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧′′′′xyyxyxyxγεεγεε2121A(6)剪切分量xyγ和yx′′γ前的因子1/2源于切应变的古典定义：古典切应变是张量切应变的两倍。这给变换关系式带来一些麻烦，某些变换关系式也可通过定义鲁塔（Reuter）矩阵加以简化：[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=−21100010001R200010001R＝或(7)现在可写成：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧′′′′′′′′xyyxxyyxyxyxyxyxγεεγεεγεεγεε1-2121RARRAR或εε1RAR−′＝(8)如同上式展开后即可证明其正确性一样，应变的变换方程也可从应力的变换方程（即式（3））得到，只要用ε代替σ，用2γ代替τ即可：()()θθγθθεεγθθγθεθεεθθγθεθεε222222sincoscossin2cossincossincossinsincos−+−=−+=++=′′′′xyxyyxxyyxyxyyxx(9)例2二向应变状态的应变为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=001.001.0yxyxγεεε从x-轴系转过yθ=45º后，新轴系的应变状态ε′可用矩阵乘法计算：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=0.05.05.00.15.05.00.15.05.022A222222scscscsccsscsc于是⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧−⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=′−02.000.000.0001.001.05.00.00.00.00.10.00.00.00.10.05.05.00.15.05.00.15.05.00.20.00.00.00.10.00.00.00.1RAR1＝＝εε4显然，矩阵乘法是颇为冗长乏味的，但若利用矩阵处理软件，上述运算就变得非常方便了。莫尔圆日常生活中一些司空见惯的经历，如以某个角度推物体，使我们对矢量如何进行变换有了一定的直观认识。二阶张量的变换乍看来更为抽象，而一张能帮助我们看到变换关系的图是很有价值的。此图的问世，使变换方程有了在工程界著名的图像诠释法，这种诠释法称为莫尔圆4。用三角函数中的倍角关系可证明式（3）表示一个圆（见习题5），这为莫尔圆图解法提供了正当的数学依据。要简单地学会这一方法，记住下列诀窍可能是昀佳的途径5：1．画出应力正方形，注出x和面上的应力值，图5(a)以一个假想的情况为例。下列方向的规定仅适用于画莫尔圆时：若切应力对正方形内任意点的矩为顺时针转向，则规定为正；而逆时针方向时规定为负。所以作用在yx和面上的切应力必定符号相反。正应力则按常规，即拉伸时为正、压缩时为负。y图5当5+=xσ，3−=yσ，4+=xyτ时画出的应力正方形（图（a））、莫尔圆（图（b））和斜截面上的应力状态（图（c））2．在以σ为横坐标（x轴）、τ为纵坐标（轴）的坐标系内作图，画出与应力正方形yx、面上的应力相对应的点作为应力圆上的两个点。由于这两个面上的切应力的符号彼此相反，其中一个点必在yσ轴上方、而另一点在σ轴下方。此两点到σ轴的距离完全相等。为便于说明，把这两点分别标为x和。y3．用线段把这两点连起来。该线段将在中点处与σ轴相交，交点的横坐标为()2yxσσ+，在本例中即[5+(-3)]/2=1。4．将圆规的尖端放在该线段的中点，使圆规的铅笔端对准该线段的端点，以该线段为直径画圆。对本例的应力状态，所作的圆如图5(b)所示。5．设某应力正方形相对于原来的应力正方形转过了θ角，为确定前者各面上的应力，将莫尔圆中对应原应力正方形的直径线段沿同样的方向转过两倍的角度、即θ2，现将直径线段的新端点分别记为x′和y′，两端点对应的τσ−值就是转过θ角的面上的应力，如图5(c)所示。yx′−′莫尔圆并没有什么高深莫测或不可思议之处，它只不过是一种形象化表示的手段而已，4莫尔圆是德国工程师奥托.莫尔（OttoMohr）(1835-1918)在1900年提出的。5在网页上有莫尔圆作图法的交互式演示。5其作用是帮助我们看到：当坐标轴旋转时，应力和其他二阶张量将如何变化。从图5(c)的莫尔圆中显然可见：当轴旋转到直径线段水平或铅垂时，应力状态有某些特殊性。在直径线段水平时，正应力取昀大值而切应力为零。这些正应力称为主应力，记作1pσ和2pσ，主应力作用的平面称为主平面。如果材料易于因拉伸断裂而失效，则当1pσ的值超过拉伸强度极限时,将沿主平面断裂而失效。例3先用莫尔圆图解法预测粉笔在扭转时将如何断裂，再用实践来检验，这将使我们获益非浅。扭转产生了如图6所示的纯剪切应力状态，由此可确定主平面与粉笔长轴的夹角为45º。裂缝将在垂直于主拉应力的方向出现，并形成螺旋状的断裂面。（随着裂缝在粉笔深部的扩展，纯剪切应力状态被更复杂的应力分布所取代，因而断裂面的昀后部分从理想的路径偏离至绕轴向转动的路径。）在现代安全的皮靴固定装置±6问世前，滑雪者腿骨司空见惯的断裂方式完全与此相同。图6简单扭转时的莫尔圆图7莫尔圆上的主应力在图7所示的直角三角形中应用三角函数关系式，则沿莫尔圆从x平面到主平面的转角为6为使滑雪靴牢固而在雪橇上设置的扣拴。——译者注6()22tanyxxypσστθ−=(10)而主应力的值为222,122xyyxyxppτσσσσσ+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−±+=(11)上式右边的第一项是圆心的σ坐标，第二项是圆的半径。当莫尔圆的直径线铅垂时，切应力取得昀大值，其大小等于莫尔圆的半径：222122maxppxyyxσστσστ−=+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=(12)在莫尔圆上，昀大切应力对应的点与主应力对应的点相隔90º转角，所以在实际试样上，昀大切应力所在的平面与主平面成45º角。与屈服相关的分子滑移是由剪切引起的，而且这种滑移通常发生在切应力昀大的平面上。一个拉伸试样沿其载荷方向和垂直载荷方向都有主平面，所以剪切滑移出现在与载荷方向成±45º的平面上。这些滑移面作为试样上的“剪切带”是屡见不鲜的。注意：在切应力昀大的平面上也可能出现正应力，这与主平面上的正应力昀大而切应力为零的状况并非完全相反。如果在切应力昀大的平面上正应力恰好为零，这种应力状态称为“纯剪切”，如在简单的扭转中，引起的就是这种应力状态。因此，纯剪切状态就是坐标轴恰好旋转到使正应力为零时的状态，这种情况仅当莫尔圆的圆心与坐标原点重合、即()02=+yxσσ时才会出现。更一般地说，纯剪切状态是应力（和应变）矩阵的迹为零时的状态。图8纯剪切状态下，应变和应力的莫尔圆例4除了应力外，应变也可以画成莫尔圆，此时以正应变为横坐标、而以切应变为纵坐标。但由于古典无限小应变的定义，纵坐标必须为2γ而不是γ。考虑如图8所示的纯剪切状态，圆轴扭转时就是这种状态，此时切应变为γ、切应力为τ。从应变的莫尔圆中很快可看出，在偏转45º的平面上有主应变21γε=。又根据剪切的胡克定律γτG=，可得G21τε=。主应变也与主应力有关，关系式如下7()2111νσσε−=E由应力的莫尔圆可得，τσσ=−=21，所以上式可写成()[]τνττ−−=EG12消去τ并重新整理，我们不必用其他证明方法，就可得出前面所述的弹性常数之间的关系式：()ν+=12EG一般方法图9矢量的变换另一种得出应力变换方程的方法很容易推广到三维空间，我们从熟知的矢量在二维空间中变换的关系式开始（见图9）：θθθθcossinsincosyxyyxxTTTTTT+−=+=′′