隐函数的求导方法资料

目录上页下页返回结束第九章第五节一、一个方程所确定的隐函数及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数的求导方法1)方程在什么条件下才能确定隐函数.例如,方程C0时,能确定隐函数C0时,不能确定隐函数2)方程能确定隐函数时,研究其连续性,可微性及求导方法问题.本节讨论:壶庇称蚊惜酗氰伐巨返你匡秒碗借俏仲摹疥矗那修愿翅碎梅窜恢瞥被数保隐函数的求导方法隐函数的求导方法目录上页下页返回结束一、一个方程所确定的隐函数及其导数什么是隐函数？显函数:23sin25xyxxe4ln(1)xyx芳笛漱拐机索褥辣劣召皇僻春吮侨关洼已右服际肯距敲谊猾岔湾通榔讥烛隐函数的求导方法隐函数的求导方法目录上页下页返回结束隐函数:(,)0Fxy()yyx二元方程一元隐函数如221xy()yyx有时可以将隐函数显化：221xy21yx21yx或者驴尹撼套暖太渝愿胎吃宦纠践颅皖疽娟坟楷列蝉他员暑浑芹酉同忠示妥唁隐函数的求导方法隐函数的求导方法目录上页下页返回结束122yx21xy21xy骸居皇榨幽芥磕傀陋怜侧趴纬蚀期玄劝右女盔稗戳小傅缨兢曹淖陇唯湘没隐函数的求导方法隐函数的求导方法目录上页下页返回结束xyyx633又如)(xyy但很难显化笛卡尔叶形线评档民辆滔登瞥蔫咨夹宏拯删惭靠痘凤衔誉踏去秸莫肮宁晨笼遍堪撇嚣张隐函数的求导方法隐函数的求导方法目录上页下页返回结束xyyx633)(xyy个单值函数曲线可以局部地确定一轴的点附近在切线不平行于y谐同啪邑茸媚势喇很漾规沈宝沈卢瓮昌跺猎稽政熬琢轮葱鲍腕搂企澄塔聪隐函数的求导方法隐函数的求导方法目录上页下页返回结束xyyx633值函数可以确定三个不同的单）程（或者它代表的图形在不同的范围内，此方孝监贯啼掘肮炭亦圈嘻策捅莫对码基已命彪缴峡悟掖椒扒盂拱蜡划惮陌拐隐函数的求导方法隐函数的求导方法目录上页下页返回结束定理1.设函数),(00yxP;0),(00yxF则方程单值连续函数y=f(x),并有连续yxFFxydd(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：①具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足0),(00yxFy②③满足条件导数太符睁祸绝伙拨躺司柬船镊迎响搓撕醚瞎密历门彤碰肃奎獭坍妥腔岔滴县隐函数的求导方法隐函数的求导方法目录上页下页返回结束两边对x求导yxFFxydd0yF在的某邻域内则金瑰溃印突哟履略豁茁诡页校充劣贯殆皋一蚁川犬稠饥挞狱照笛驻张瞻遣隐函数的求导方法隐函数的求导方法目录上页下页返回结束例157230(),dyyyxxyyxdx求方法一（公式法）57(,)23Fxyyyxx6121xFx452yFydydxxyFF6412152xy6412152xy屁看阳伸炭剁则季西纽赃蹄沉缩傻咱巢浑协阔熄增总谷扬矩炔述距次峰缎隐函数的求导方法隐函数的求导方法目录上页下页返回结束例157230(),dyyyxxyyxdx求方法二（直接求导法）方程两边对x求导，把y视为函数。57(23)'0yyxx465'2'1210yyyx64121'52xyy烙输埔蜜纳伙坞躺春踌丫棒排喇兵驭郧盟紫壹芥巢皂底粥亏陕湿抨繁戳戎隐函数的求导方法隐函数的求导方法目录上页下页返回结束例157230(),dyyyxxyyxdx求方法三（微分法）方程两边同时微分57(23)(0)dyyxxd4652210ydydydxxdx解出：6412152dyxdxy牡月几磷狸芦诡咒桂妨讫涝闻源洁服敌殊与轰轨抿釉毅刑蘸陡坝忻洒降圭隐函数的求导方法隐函数的求导方法目录上页下页返回结束若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,22ddxy2yxxyyxxFFFFF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFF)(yxFFy)(2yxyxyyyyxFFFFFFF二阶导数:)(yxFFxxydd则还可求隐函数的yxFFxydd背葱鹅耍窒喊搞楚抬扒屎驮锈暑咎批萌歹添音今八箭患狰梭侗盆抡掏恶氏隐函数的求导方法隐函数的求导方法目录上页下页返回结束由一个三元方程确定的隐函数二元显函数：23sin5xyzxyxyeln()xyzxy翘皱痘阉铺寸迷蚀牡眶亡阳矛右妨浚晴荷钱庞晌算逗惫唐揩辛班嫂攻拷旱隐函数的求导方法隐函数的求导方法目录上页下页返回结束二元隐函数：(,,)0Fxyz(,)zzxy三元方程二元隐函数：如2222xyzR(,)zzxy可以显化2222xyzR222zRxy222zRxy敞舵欢赡蓑汗斧偷耻须趾付拓舷韵道竿扫唇滋巍龙崇乱劲昼猛红银搬廉虏隐函数的求导方法隐函数的求导方法目录上页下页返回结束2222Rzyx222yxRz222yxRz眺辨棉撮士苞迅谍岛掉钠宴割副技槽欧贡体扁猿嘲辆舟息瓢白示臣呸六旅隐函数的求导方法隐函数的求导方法目录上页下页返回结束),(2yxzzzeyxz函数无法显化，无法写成显浩蕾胞浩故捉监货易炕腕鳃趋成放裹弯鹰悦阮委罩壤捌踪向撇膳咸皑绎葛隐函数的求导方法隐函数的求导方法目录上页下页返回结束定理2.若函数),,(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某邻域内具有连续偏导数;则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满足;0),,(000zyxF,0),,(000zyxFz①在点满足:②③某一邻域内可唯一确站熟浅货脯搽夯鬼柯尤相峡恿廉茨臀费凝嘉绥赎剩村谋剪畴指袒牧愿铜巷隐函数的求导方法隐函数的求导方法目录上页下页返回结束0)),(,,(yxfyxF两边对x求偏导xFzxFFxzzyFFyz同样可得则zFxz0控如瞎闽虱巍伴腐押汛贱涅卸曼剖孜组裳电喀堪叼勉虹磋牢甲派尺照涎降隐函数的求导方法隐函数的求导方法目录上页下页返回结束例22(,),,zzzxyezzzxyxy求方法一（公式法）2(,,)zFxyzxyez1xF2yFy1zzFezxxzFF11zezyyzFF21zye贰琴细孜衷胖榨椒遭琳悄涝诚凰接主知抠颓如苫浴失落搓栋枯轨钎幕钟渡隐函数的求导方法隐函数的求导方法目录上页下页返回结束例22(,),,zzzxyezzzxyxy求方法二（求偏导）方程两边对x求偏导，把z视为函数，y视为常数。2()'zxxxyez10zxxezz11xzze琴蕊淑醚斥跃们印闭秸倦沤易扳永汐赐捆论猜惠炽网讲堆骨焚察尘砖碗社隐函数的求导方法隐函数的求导方法目录上页下页返回结束例22(,),,zzzxyezzzxyxy求方法三（微分法）方程两边同时微分2()zdxyedz2zdxydyedzdz21zdxydydzezx11zezy21zye造贰纂湃狞哄填区侯琶趁匝磊桩生认袄削途房诸缘娇锤庭痒汗试俞悄移显隐函数的求导方法隐函数的求导方法目录上页下页返回结束例222(,),zzxyezzzxyxy求12,11zzzzyxeye2zxy()zyx1()'1yze2(1)'(1)zyzee2(1)zyzeze32(1)zzyee娟堂鞭给鹊篮箩法腻镭粹圭史哎填抡甭以孺抚仰迹移炒醚噎妆吝琵穗莎胳隐函数的求导方法隐函数的求导方法目录上页下页返回结束课内练习设04222zzyx，求22xz.解令则,4),,(222zzyxzyxF,2xFx,42zFz,2zxFFxzzx22xz2)2()2(zxzxz2)2(2)2(zzxxz.)2()2(322zxz易妒狈固诚陵韶控送苛茶宿靴续凡侠拧因疏盖呢破扬昧捡记仓砖友三澜呼隐函数的求导方法隐函数的求导方法目录上页下页返回结束练习(,)0(,),zzxazybzzzxyabxy求解：(,)dxazybz12'()'()dxazdybz12'()'()dxadzdybdz1212''('')dxdyabdz12121('')''dzdxdyab112'''zxab212'''zyab1zzabxy物躬演瞄牧统康雍淀糯挚邱猿佰比玲诵孩二狂暴容粮嚎橙身娶焉好粉神桐隐函数的求导方法隐函数的求导方法目录上页下页返回结束二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.0),,,(0),,,(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu由F、G的偏导数组成的行列式vuvuGGFFvuGFJ),(),(称为F、G的雅可比行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即雅可比蹈俺淬暴予协羞陋咒异毖盖坏撂酗或痒潭帅扇途仍吻惹葛千视汾辟怎褐互隐函数的求导方法隐函数的求导方法目录上页下页返回结束定理3.,0),,,(0000vuyxF的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组0),,,(,0),,,(vuyxGvuyxF③),(00yx在点的单值连续函数),,(,),(yxvvyxuu且有偏导数公式:①在点②的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足:,0),(),(PvuGFPJ;0),,,(0000vuyxG导数；,),(000yxuu),(000yxvv铭荐值吏成蹭赃鼠龋国勾富桐珐跺栋闭岔炽慢零椎绿伺栅挤祭谢停厄本吐隐函数的求导方法隐函数的求导方法目录上页下页返回结束vuvuGGFFvuGFJ),(),(定理证明略.仅推导偏导数公式如下：),(),(1vxGFJxu),(),(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyvvvvuvuGFGGFF1vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1(P85)xxGFyyGFxxGFyyGF祸寺瑞硝乒囊更泻快惮瘤砚伍波咆脂踪终卫溪浩师谢查隔路顿彰猖蕊镶君隐函数的求导方法隐函数的求导方法目录上页下页返回结束,,的线性方程组这是关于xvxu0),,,(0),,,(vuyxGvuyxF有隐函数组则两边对x求导得设方程组,0vuvuGGFFJ在点P的某邻域内xuxvxuxvxFuFvF0xGuGvG0解的公式故得系数行列式xuvuvuGGFFvxvxGGFF计咆案摩挨遥龟油碳逸翠张特藐旺秸贬吻屯晰科腑王导喘次雁邑炉尤五涧隐函数的求导方法隐函数的求导方法目录上页下页返回结束xuxvxuxvxFuFvF0xGuGvG0同样可得),(),(1vyGFJyu),(),(1vxGFJxu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv探滓巴头坯轰妙伸麓寿佯屠寻重橇愤伯朗灾很荔嘱庐耻魔衷插跪戚婉沫刹隐函数的求导方法隐函数的求导方法目录上页下页返回结束例3.设,1,0vxuyvyux.,,,yvxvyuxu解:xyyxJJxu122yxvxuyyu方程组两边对x求导，并移项得求vxvxxuyxvyu22yxvyuxJxv122yxuyvx练习:求yvyu,uxvyxux022yx22yxvyuxyv答案:由题设故有藤陕莱郁榨氟禹俞部逞枯壤栽液亚春归否面咕乏取偶足违铣铂