等比数列及其性质

2012届JS高三第一轮复习数学（文）数列第五课时：俞雪峰《等比数列及其性质》本节课的学习目的：通过复习探究等比数列的项与项之间的几类关系使同学们能较深入理解等比数列的本质，从而为全面理解和掌握等比数列的有关内容打下坚实的基础。本节课的学习方法：与等差数列进行比较，通过类比的方法复习等比数列。数列等差数列定义公差（比）通项公式引申中项性质0qqaa,2n1nn1n1nqaamnmnqaadaa,2n1nnd)1n(aa1nd)mn(aamnRd公差0q公比类比若m+n=p+t(m,n,p,t∈N*),则am+an=ap+at若m+n=p+t(m,n,p,t∈N*),则aman=apat212nnnaaa221nnnaaa等比数列一、等比数列的定义及通项公式通项公式数学表达式定义等比数列等差数列名称如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，用d表示an+1-an=dan=a1+（n-1）d如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，用q表示qaann111nnqaa名称推导过程dnaan)1(1daa12d2aa13d3aa14……由此归纳等差数列的通项公式可得：法1：不完全归纳法d)1n(aa1n11nnqaana4a法1：不完全归纳法qaaqaa12123a……由此归纳等差数列的通项公式可得：a1q2a1q3a1qn-1等差数列等比数列通项公式名称等差数列等比数列推导过程dnaan)1(11n1nqaa……daa,2n12daa23daa34把这n-1个式子相加，得：法2：累加法d)1n(aa1ndaa1nn当n=1时，上式成立*1nNn,d)1n(aa……qaa,2n12法2：累乘法qaa23qaa1nn把这n-1个式子相乘，得：1n1nqaa当n=1时，上式成立*1n1nNn,qaa通项公式考点一：等比数列的基本运算例1：在等比数列{an}中：1159115(1)2,3,162,;1(2)3,211,,932,8,naqanaqaaqaaa已知求已知，求；已知求；已知求q(3)(4)答案：（1）n=5（2）a5=（3）a1=729（4）q=16321n1nqaa解题思路分析：在等比数列通项公式中，有四个量，an、a1、q、n知道其中的任意三个量，就可以求出另一个量，即知三求一.1n1nqaa我们称之为基本量法！解后反思：例2：在等比数列{an}中：362,16,naaa已知求1n1nqaa解：2n1nn12135162221a2q21a2qaa16qaa解后反思：利用通项公式由已知的基本量转化为解方程组。所谓函数与方程的思想。二、等比数列通项公式的引申名称等差数列等比数列通项公式引申*mnNm,nd)mn(aa*,nmnmaaqnmNd)1m(aa1md)1n(aa1nd)mn(aamnd)mn(aamn可得已知等差数列｛an｝中，公差为d，则an与am（n,m∈N*）有何关系？已知等比数列｛an｝中，公比为q，则an与am（n,m∈N*）有何关系？an=a1qn-1am=a1qm-1mnmnqaa*mnmnNm,nqaa可得*636333323:,1622222nmnmnnnnaaqnmNaaqqqaaq另解例2：在等比数列{an}中：362,16,naaa已知求三、等比中项如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。2baAabG在等差数列{an}中:212nnnaaa注意：1.两个数的等比中项有两个，它们互为相反数；2.这两个数必须满足同号的条件，即ab0在等比数列{an}中：221nnnaaa等差中项等比中项1、两个数的等差中项只有一个2、任意两个数都有等差中项回顾：等比数列的常用判定方法(1)an＋1an＝q(q为非零常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列；(2)an＝cqn(c，q为非零常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列；(3)an＋12＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．考点二、等比数列的判定)2(1nqaann或)(*1Nnqaann(判断一个数列是否为等比数列的首选方法：定义)0na证明：∵Sn＝2an+1，∴Sn+1＝2an+1+1，∴Sn+1－Sn＝an+1＝(2an+1+1)－(2an+1)＝2an+1－2an.∴an+1＝2an+1－2an∴an+1＝2an……①又∵S1＝a1＝2a1+1，∴a1＝－1≠0.由①式可知，an≠0，∴由知{an}是等比数列，所以通项公式：an＝－2n-1.例3、已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．2aan1n四、等比数列的性质等差数列的性质等比数列的性质已知{an}是等差数列，若m+n=p+t（m，n，p，t∈N*）则：am+an=ap+at.已知{an}是等比数列，若m+n=p+t（m，n，p，t∈N*）则：am·an=ap·at.a1，a2，a3，……，an-2，an-1，an，……a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…a1an=a2an-1=a3an-2=…考点三：等比数列性质的应用例4、在等比数列{an}中，且an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=36,求a3+a5=_.6解：由性质可得a2a4=a3a3=a32a4a6=a5a5=a52所以a32+2a3a5+a52=(a3+a5)2=36例5(2010·全国)已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.5B.7C.6D.422分析:利用等比数列的性质求解；解：由等比数列的性质知a1a2a3=(a1a3)·a2=a32=5,a7a8a9=(a7a9)·a8=a38=10,所以a2a8=,所以a4a5a6=(a4a6)·a5=a35=()3=()3=5,故选A.13501650228aa数列等差数列定义公差（比）通项公式任意两项连续三项四项0qqaa,2n1nn1n1nqaamnmnqaadaa,2n1nnd)1n(aa1nd)mn(aamnRd公差0q公比类比若m+n=p+t(m,n,p,t∈N*),则am+an=ap+at若m+n=p+t(m,n,p,t∈N*),则aman=apat212nnnaaa221nnnaaa等比数列1.(教材改编题)在等比数列{an}中，a1=1,a5=9,则a3=()A.3B.-3C.3或-3D.3解析：a23=a1a5=9,且a1,a3,a5同号，∴a3=3.故选A.2.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q=()A.-B.-2C.2D.141212解析:q3=∴q=.故选D.53114,28aa123.(2011·济南山师附中模拟)在等比数列{an}中，a8·a10=6,a4+a14=5,则等于()A.B.C.或D.-或-188aa232323323232五、课堂演练：解析：由题知，a8·a10=a4·a14=6,且a4+a14=5,解得a4=2,a14=3,或a4=3,a14=2,∴或，故选C.1814842,3aaaa18148432aaaa•复习内容：等比数列的定义、通项公式、性质。本质就是复习数列项与项之间的关系——从定义的相邻两项的关系、通项公式的第n项与首项的关系、拓展到任意两项的关系最后到三项、四项的关系。通过本节课的复习我们可以深入的理解和掌握等比数列的实质。•复习方法：主要是类比（与等差数列类比进行复习）的方法、兼顾了回顾、探究、讨论。•数学方法：转化的思想、函数与方程的思想•解题方法：基本量法、赋值法、归纳法、累加法、累乘法、性质的灵活运用。六、总结：七、布置作业：•1、回顾本节课的有关内容。•2、校本训练二十五。•3、预习下一节课的内容：等比数列求和公式及其简单应用。变式5-1在等比数列{an}中，a1=1,公比|q|≠1.若am=a1a2a3a4a5,则m=()A.9B.10C.11D.12解析：am=a1a2a3a4a5=a53=(a1q2)5=q10=a11,故选C.变式5-2(2011·潍坊模拟)已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9=2a25,a2=2,则a1等于()A.1B.C.-D.222解析:∵a3a9=2a25,∴a26=2a25,∴q2=2,∵q＞0,∴q=,2∴a1=,故选B.2222aq关于等比数列的性质与等差数列的性质类似：随着复习的深入我们可能会碰到以下一些性质。同学们可以了解一下：等比数列的性质等比数列的性质等比数列的性质