组合数的性质和应用

组合数的性质和应用莆田第二中学高二1班复习巩固：1、组合定义:一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.mnC2、组合数:3、组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAnnnnmCAm!!()!mnnCmnm新课引入引例1:利用组合数公式考察:与;与;的关系,并发现什么规律?C911C211C710C310C911!21011!2!9!11C211!21011CC211911C710!38910!3!7!10C310!38910CC710310从n个不同元素中取出m个不同的元素的方法从n个不同元素中取出n－m个不同的元素的方法一一对应用组合的定义思考mnCmnnC=的计算简化利用这个公式可使时当Cmnnm,2)1(注变形为公式时当CCmnnmnnm,)2(1!01:,10即所以规定又CCnnnCCnnn0即从n个不同的元素中取出m个元素的组合数,等于从这n个元素中取出n-m个元素的组合数性质1CCmnnmn证明:根据组合数的公式有:)!(!!mnmnCmn)!(!!)]!([)!(!mnmnmnnmnnCmnn引例2：一个口袋内装有大小相同的7个白球和一个黑球.(1)从口袋内取出3个球,共有多少中取法?(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法?(3)从口袋中取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法?56!367838C35!356737C21!26727CCCC372738即从口袋内的8个球中所取出的3个球,可以分为两类:一类含1个黑球,一类不含黑球.所以根据分类计数原理,上面等式成立.Caaamnnmn11211,,个的组合数是元素中取出个不同的这从的含有a1的不含有a1个有组成元素与个中取出从Caaaamnnm11132,1,,个有元素组成个中取出从Caaamnnm,,,132CCCmnmnmn11CCmnmn1:证明)]!1([)!1(!)!(!!mnmnmnmn)!1(!!)1(!mnmmnmnn)!1(!!)1(mnmnmmn]!)1[(!)!1(mnmn.1Cmncccmnmnmn11性质21、公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数.2、此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．cccmnmnmn11性质2例1计算198200(1);C329999(2);CC332898(3).2CCC22002001991990021C31001009998161700321C3322388888562()CCCCC例2．计算：69584737CCCC解：原式＝34567789()CCCC568489CCC568489()CCC6959CC610C410C109872104!1121.nnnnnnnnnmnmCCCCC＋变式：求证：4104948474645)1(:.3CCCCCC求值394146352413)2(CCCCC13213210)1(32:.4nnnnnnnnnnnCnCCCKCCCCC化简已知（2）已知C18=C18，求n的值变式(1)已知Cn=Cn，求n的值137n3n-61．方程382828xxCC的解集为（）A．4B．9C．D．4,9D2．若108nnCC，则20nC的值为190巩固练习3．6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的去法？123456666666CCCCCC解：有6类办法，第1类去1人，第2类去2人，第3类去3人，第4类去4人，第5类去5人，第6类去6人，所以共有不同的去法63巩固练习小结2.组合数性质:mnmnnCC⑴11mmmnnnCCC⑵1.组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAnnnnmCAm!!()!mnnCmnm组合数的应用奎屯王新敞新疆·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋一、等分组与不等分组问题例3、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；（1）分成三份，每份两本；（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本；（3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；（5）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本；（6）分给5个人，每人至少一本；（7）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。变式、（1）今有10件不同奖品,从中选6件分成三份,二份各1件,另一份4件,有多少种分法?（2）10件不同奖品中选6件分成三份,二份各1件,另一份4件，发给三个同学，有多少种分法？(3)将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？31114554573535CCCCC或646431061063(1)3150(2)18900CCCCA练习2:将5个人分成4个组，每组至少1人，则分组的种数是多少？1112321533CCCCA25C练习1:将12个人分成2，2，2，3，3的5个组，则分组的种数是多少？2223312108633232CCCCCAA3.12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（）A.4448412CCC种B.34448412CCC种C.3348412ACC种D.334448412ACCC种A练习例4、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（）（A）种（B）种（C）种（D）种38C38A39C311C二、不相邻问题插空法•变式1：为美化城市，现在要把一条路上7盏路灯全部改装成彩色路灯，如果彩色路灯有红、黄与兰共3种颜色，在安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯至少要有2盏，有多少种不同的安装方法？114种变式2：某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？三、混合问题，先“组”后“排”例5对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5次测试是次品。故有：种可能。576441634ACC变式1.10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况：（1）4只鞋子恰有两双；（2）4只鞋子没有成双的；（3）4只鞋子只有一双。分析:(1)因为4只鞋来自2双鞋,所以有21045C(2)因为4只鞋来自4双不同的鞋,而从10双鞋中取4双有种方法,每双鞋中可取左边一只也可取右边一只,各有种取法,所以一共有种取法.410C12C411111022223360CCCCC(3)因为4只鞋来自3双鞋,而从10双鞋中取3双有种取法,3双鞋中取出1双有种方法,另2双鞋中各取1只有种方法故共有种取法.310C13C1122CC3111103221440CCCC•变式2：有4个不同的球和4个不同的盒子，把球全部放入盒内。（假设盒子足够大）•（1）共有几种放法？（2）每盒恰有1个球，有几种放法？（3）恰有1个盒内放2个球，有几种放法？（4）恰有2个盒子不放球，有几种放法？（5）每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？•（6）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？四、分类组合,隔板处理例6、从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒子不能空的)有几种放法?这类问可用“隔板法”处理.解:采用“隔板法”得:5294095C变式1:将7只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒至少1球的放法有多少种？变式2:将7只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒可空，不同的放法有多少种？3620C310120C变式：如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A到B只能上行或右行共有多少条不同的路线?BA解:如图所示→1↑①→2↑②↑③→3→4→5↑④→6→7将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11格:其中必有四个↑和七个→组成!所以,四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,所以从A到B共有514(51)(81)11CC条不同的路径.五.消序法(留空法)BA编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.六.错位法：特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.例6.编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有____种.解：选取编号相同的两组球和盒子的方法有2615C种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法.故所求方法有15×9＝135种.七.剔除法从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.例7.从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________条.解：所有这样的直线共有条，其中不过原点的直线有条，37210A∴所得的经过坐标原点的直线有210-180＝30条.1266180AA排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.•例8.“抗震救灾，众志成城”，在我国甘肃舟曲的抗震救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴某灾区救灾，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：•(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？•(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？•(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？[规范解答](1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有种选法，所以共有种抽调方法.24C46C244690CC•(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，•方法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：•①选2名外科专家，共有C42·C64种选法；•②选3名外科专家，共有C43·C63种选法；•③选4名外科专家，共有C44·C62种选法；•根据分类加法计数原理，共有•C42·C64＋C43·C63＋C44·C62＝185种抽调方法.方法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有种选法，考虑选取1名外科专家参加，有种选法；没有外科专家参加，有种选法，所以共有：种抽调方法.610C1546CC66C615610466185CCCC•(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答．•①没有外科专家参加，有C66种选法；•②有1名外科专家参加，有C41·C65种选法；•③有2名外科专家参加，有C42·C64种选法.•所以共有C66＋C41·C65＋C42·C64＝115种抽调方法.•[题