2.高中数学函数复习主要知识点

函数复习主要知识点一、函数的概念与表示1、映射（1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。注意点：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射2、函数:设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；（3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；2求函数定义域的两个难点问题（1）()x已知f的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。（2）(21)xx已知f－的定义域是[-1,3],求f()的定义域三、函数的值域1求函数值域的方法①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且x∈R的分式；④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；⑥图象法：二次函数必画草图求其值域；⑦利用对号函数⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数1．（直接法）2123yxx3．（换元法）12xxy4.（Δ法）432xxy6.(分离常数法)①1xxy四．函数的奇偶性1．定义:设y=f(x)，x∈A，如果对于任意x∈A，都有()()fxfx，则称y=f(x)为偶函数。如果对于任意x∈A，都有()()fxfx，则称y=f(x)为奇函数。2.性质：①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于y轴对称,y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称]3．奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称②看f(x)与f(-x)的关系五、函数的单调性一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则f(x)在区间D上是增函数;当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则f(x)在区间D上是减函数。2设xgfy是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则xgfy在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则xgfy在M上是增函数。六、对称性：我们知道：偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(xfxf奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(xfxf上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：（1）函数)(xfy关于ax对称)()(xafxaf)()(xafxaf也可以写成)2()(xafxf或)2()(xafxf简证：设点),(11yx在)(xfy上，通过)2()(xafxf可知，)2()(111xafxfy，即点)(),2(11xfyyxa也在上，而点),(11yx与点),2(11yxa关于x=a对称。得证。若写成：)()(xbfxaf，函数)(xfy关于直线22)()(baxbxax对称（2）函数)(xfy关于点),(ba对称bxafxaf2)()(bxfxaf2)()2(上述关系也可以写成或bxfxaf2)()2(简证：设点),(11yx在)(xfy上，即)(11xfy，通过bxfxaf2)()2(可知，bxfxaf2)()2(11，所以1112)(2)2(ybxfbxaf，所以点)2,2(11ybxa也在)(xfy上，而点)2,2(11ybxa与),(11yx关于),(ba对称。得证。若写成：cxbfxaf)()(，函数)(xfy关于点)2,2(cba对称（3）函数)(xfy关于点by对称:假设函数关于by对称，即关于任一个x值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于by对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于by对称，比如圆04),(22yxyxc它会关于y=0对称。七．函数的周期性：1．（定义）若)0)(()(TxfTxf)(xf是周期函数，T是它的一个周期。说明：nT也是)(xf的周期2.（推广）若)()(bxfaxf，则)(xf是周期函数，ab是它的一个周期（1）函数)(xfy满足如下关系系，则Txf2)(的周期为A、)()(xfTxfB、)(1)()(1)(xfTxfxfTxf或C、)(1)(1)2(xfxfTxf或)(1)(1)2(xfxfTxf（等式右边加负号亦成立）D、其他情形（2）函数)(xfy满足)()(xafxaf且)()(xbfxbf，则可推出)](2[)]2([)]2([)2()(abxfbxabfbxabfxafxf即可以得到)(xfy的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”（3）如果奇函数满足)()(xfTxf则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为kTTx22)(zk，根据)2()(Txfxf可以找出其对称中心为)0(kT，)(zk（以上0T）如果偶函数满足)()(xfTxf则亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心为)0,22(kTT)(zk，根据)2()(Txfxf可以推出对称轴为kTTx2)(zk（以上0T）（4）如果奇函数)(xfy满足)()(xTfxTf（0T），则函数)(xfy是以4T为周期的周期性函数。如果偶函数)(xfy满足)()(xTfxTf（0T），则函数)(xfy是以2T为周期的周期性函数。八、反函数1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；2、求反函数的步骤（1）解(2)换(3)写定义域。3、关于反函数的性质（1）y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（2）y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的单调性；（3）已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a，从中求出x，即是f-1(a)；（4）f-1[f(x)]=x;（5）若点(a,b)在y=f(x)的图象上，则(b,a)在y=f--1(x)的图象上；（6）y=f(x)的图象与其反函数y=f--1(x)的图象的交点一定在直线y=x上;九．二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)1．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴abx2，顶点坐标)44,2(2abacab2．二次函数与一元二次方程关系一元二次方程)0(02acbxax的根为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)0y的x的取值。一元二次不等式)0(02cbxax的解集(a0)二次函数△情况一元二次不等式解集Y=ax2+bx+c(a0)△=b2-4acax2+bx+c0(a0)ax2+bx+c0(a0)图象与解△021xxxxx或21xxxx△=00xxx△0R十．指数式与对数式1．幂的有关概念(1)零指数幂)0(10aa(2)负整数指数幂10,nnaanNa(3)正分数指数幂0,,,1mnmnaaamnNn；(5)负分数指数幂110,,,1mnmnmnaamnNnaa(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.2．有理数指数幂的性质10,,rsrsaaaarsQ20,,srrsaaarsQ30,0,rrrabababrQ3．根式根式的性质:当n是奇数，则aann；当n是偶数，则00aaaaaann4．对数(1)对数的概念:如果)1,0(aaNab,那么b叫做以a为底N的对数,记)1,0(logaaNba(2)对数的性质：①零与负数没有对数②01loga③1logaa(3)对数的运算性质logMN=logM+logN对数换底公式：)10,10,0(logloglogmmaaNaNNmma且且对数的降幂公式：)10,0(loglogaaNNmnNanam且十一．指数函数与对数函数1、指数函数y=ax与对数函数y=logax(a0,a≠1)互为反函数名称指数函数对数函数一般形式Y=ax(a0且a≠1)y=logax(a0,a≠1)定义域(-∞,+∞)(0,+∞)值域(0,+∞)(-∞,+∞)过定点（０，1）（1，０）图象指数函数y=ax与对数函数y=logax(a0,a≠1)图象关于y=x对称单调性a1,在(-∞,+∞)上为增函数０＜a1,在(-∞,+∞)上为减函数a1,在(0,+∞)上为增函数０＜a1,在(0,+∞)上为减函数值分布y1?y1?y0?y0?2.比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图象：3、研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制4、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。十二．函数的图象变换（1）平移变换：（左+右-，上+下-）即kxfyxfyhxfyxfykkhh)()()()(,0;,0,0;,0上移下移左移右移（2）两个函数的图象对称性1、)(xfy与)(xfy关于X轴对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)()(xgxf，即它们关于0y对称。2、)(xfy与)(xfy关于Y轴对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)()(xgxf，即它们关于0x对称。3、)(xfy与)2(xafy关于直线ax对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)2()(xagxf，即它们关于ax对称。4、)(xfy与)(2xfay关于直线ay对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足axgxf2)()(，即它们关于ay对称。5、)2(2)(xafbyxfy与关于点(a,b)对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足bxagxf2)2()(，即它们关于点(a,b)对称。6、)(xafy与)(bxy关于直线2bax对称。