等腰三角形中常见辅助线

专题课堂(七)等腰三角形中常见辅助线第十三章轴对称一、等腰三角形中底边中点常作底边的中线1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF.证明：连接AD，∵AB＝AC且BD＝CD，∴∠BAD＝∠CAD，又∵AE＝AF，AD＝AD，∴△AED≌△AFD(SAS)，∴DE＝DF二、利用“三线合一”作等腰三角形底边上的高2．如图，AB＝2AC，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且AE＝BE.求证：CE⊥AC.证明：作EH⊥AB于H，∵AE＝BE，∴AH＝BH，又∵AB＝2AC，∴AC＝AH，∵AD平分∠BAC，∴∠CAE＝∠EAH，又∵AE＝AE，∴△AHE≌△ACE(SAS)，∴∠AHE＝∠ACE＝90°，∴CE⊥AC三、作平行线构造等腰三角形3．(2016·铜仁)如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF＝FD.求证：AD＝CE.证明：作DG∥BC交AC于G，则∠DGF＝∠ECF，在△DFG和△EFC中，∠DGF＝∠ECF，∠DFG＝∠EFG，FD＝EF，∴△DFG≌△EFC(AAS)，∴GD＝CE.∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠B，∠AGD＝∠ACB，∴∠A＝∠ADG＝∠AGD＝60°，∴△ADG是等边三角形，∴AD＝GD，∴AD＝CE四、用截长补短法构造等腰三角形4．如图，已知AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：BC＝AB＋CD.证明：在线段BC上截取BE＝BA，连接DE.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD＝12∠ABC.又∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠BED＝∠A＝108°，∠ADB＝∠EDB，∴∠DEC＝180°－108°＝72°.又∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠ACB＝∠ABC＝12×(180°－108°)＝36°，∠CDE＝180°－∠DEC－∠ACB＝180°－36°－72°＝72°，∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE，∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD五、作垂直构造K字型全等5．如图，将等腰Rt△ABC斜放在平面直角坐标系中，使直角顶点C与点(1，0)重合，点A的坐标为(－2，1)．(1)求点B的坐标；(2)求△ABC的面积．解：(1)分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为D，E，则有∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠ACD＋∠CAD＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE.又∵AC＝BC，∴△ACD≌△CBE(AAS)，∴AD＝CE，CD＝BE.∵点A的坐标为(－2，1)，点C的坐标为(1，0)，可得OC＝1，AD＝CE＝1，OD＝2，∴CD＝CO＋OD＝3＝BE，OE＝OC＋CE＝2，故点B的坐标为(2，3)(2)S△ABC＝S梯形ADEB－S△ACD－S△BCE＝S梯形ADEB－2S△ACD＝12×(1＋3)×4－2×12×3×1＝5