1.2.2组合(二)

——组合应用题例1：一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛,按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人.问:(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案?(2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?例2：(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有多少条?(2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条?例3、在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品检验时,从100件产品中任意抽出3件。(1)一共有多少种不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?3100161700;C122989506;CC12299CC②1221298298CCCC①3310098CC练习.在产品检验中，常从产品中抽出一部分进行检查.现有100件产品，其中3件次品，97件正品.要抽出5件进行检查，根据下列各种要求，各有多少种不同的抽法？(1)无任何限制条件；(2)全是正品；(3)只有2件正品；(4)至少有1件次品；(5)至多有2件次品；(6)次品最多.解答：5100C（1）597C（2）23973CC（3）5510097CC（4）413223973973973CCCCCC，或（5）504132973973973CCCCCC23973CC（6）练习2按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；323936CC0539126CC1419126CC1439378CC231405393939(5)756CCCCCC方法一：5321239756CCC方法二：322314393939(6)666CCCCCC方法一：5051239666CCC方法二：例2在∠MON的边OM上有5个异于O点的点,ON上有4个异于O点的点,以这十个点(含O)为顶点,可以得到多少个三角形?NOMABCDEFGHI·········练习：在一个正方体中，各棱、各面和体对角线中，共有多少对异面直线。例3．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；解：（1）根据分步计数原理得到：22264290CCC种例3．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：(2)分为三份，每份2本；解析：(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有种方法．根据分步计数原理所以．222642CCC33A可得：22236423CCCxA2226423315CCCxA因此，分为三份，每份两本一共有15种方法所以．点评：本题是分组中的“平均分组”问题．一般地：将mn个元素均匀分成n组（每组m个元素）,共有mmmmnmnmmnnCCCA种方法例3．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；解：（3）这是“不均匀分组”问题，一共有种方法．12365360CCC（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有种方法．12336533360CCCA例3．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本解：（5）可以分为三类情况：①“2、2、2型”的分配情况，有种方法；22264290CCC②“1、2、3型”的分配情况，有种方法；12336533360CCCA③“1、1、4型”，有种方法，436390CA所以，一共有90+360+90＝540种方法．注意：对于排列组合的混合应用题，一般解法是先选后排。练习：10名学生均分成2组，每组选出正、副组长各1人，共有多少种不同的方法？元素相同问题隔板策略例4.有10个运动员名额，再分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有___________种分法。一班二班三班四班五班六班七班69C将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为11mnC练习、（1）10个优秀指标分配给6个班级，每个班级至少一个，共有多少种不同的分配方法？（2）10个优秀指标分配到1、2、3三个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？分析：（1）这是同种元素的“不平均分组”问题.本小题可构造数学模型，用5个隔板插入10个指标中的9个空隙，即有种方法。按照第一个隔板前的指标数为1班的指标，第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为2班的指标，以此类推，因此共有种分法.59C59126C（2）先拿3个指标分给二班1个，三班2个，然后，问题转化为7个优秀指标分给三个班，每班至少一个.由（1）可知共有种分法注：第一小题也可以先给每个班一个指标，然后，将剩余的4个指标按分给一个班、两个班、三个班、四个班进行分类，共有种分法.2615C1234666623126CCCC例5．（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？（2）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？解：（1）根据分步计数原理：一共有种方法；44256（2）（捆绑法）第一步：从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素有种方法；第二步：从四个不同的盒中任取三个将球放入有种方法，所以，一共有＝144种方法24C34A24C34A例6.有12名划船运动员,其中3人只会划左舷,4人只会划右舷,其它5人既会划左舷,又会划右舷,现要从这12名运动员中选出6人平均分在左右舷参加划船比赛,有多少种不同的选法?多面手问题练习：在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人既能当钳工，又能当车工，现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问有多少种不同的选法？例710双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意抽取4只，试求各有多少种情况出现如下结果：(1)4只鞋子没有成双；(2)4只鞋子恰好成双；(3)4只鞋子有2只成双，另2只不成双。小结：1.解应用题，首先要确定是排列问题，还是组合问题。2.许多排列应用题的解题思路，可迁移到组合应用题中。4.“至多至少”问题，容易出错。要用分类解决，或用排除法解决。3.既有排列又有组合的混合应用题，一般先取后排。5.涉及“多面手”的问题，一般分类解决。练习：1.某施工小组有男工7人，女工3人，选出3人中有女工1人，男工2人的不同选法有多少种？3.要从7个班级中选出10人来参加数学竞赛，每班至少选1人，这10个名额有多少种分配方法?2.由10人组成的课外文娱小组，有4人只会跳舞，有4人只会唱歌，2人均能。若从中选出3个会跳舞和3个会唱歌的人的排演节目，共有多少种不同的选法？例7将7只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒至少1球的放法有多少种？隔板法：待分元素相同，去处不同，每处至少一个。变式将7只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒可空，不同的放法有多少种？例8已知方程x+y+z+w=100，求这个方程的正整数解的级数。(绿P183例6)应用举例例1将6本不同的书按下列要求分发，求各有多少种不同的方法：（1）按1，2，3的本数分成3组；（2）按1，2，3的本数分发给3个人；（3）平均分发给3个人；（4）平均分成3组；（5）按1，1，4的本数分成3组；（6）按1，1，4的本数分发给3个人.6036090151590例2将3名医生和6名护士分配到3所学校为学生体检，每所学校去1名医生和2名护士，求共有多少种不同的分配方案？540例3从某4名男生和5名女生中任选5人参加某项社会实践活动，要求至多选4名女生，且男生甲和女生乙不同时入选，求共有多少种不同的选法？90例5将8名工程技术人员平均分到甲、乙两个企业作技术指导，其中某2名工程设计人员不能分到同一个企业，某3名电脑编程人员也不能分到同一个企业，求共有多少种不同的分配方案？例6将20个大小相同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子内的球数不小于该盒子的编号数，求共有多少种不同的放法？36120例4．马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？解：（插空法）本题等价于在7只亮着的路灯之间的6个空档中插入3只熄掉的灯，故所求方法总数为种方法3620C例5．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（）A．24种B．36种C．48D．72种B例6．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（）A.20种B.30种C.40种D.60种A例7．某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种（用数字作答）.2161．5个人分4张同样的足球票，每人至多分一张，而且票必须分完，那么不同的分法种数是．2．某学生要邀请10位同学中的6位参加一项活动，其中有2位同学要么都请，要么都不请，共有种邀请方法.3.一个集合有5个元素，则该集合的非空真子集共有个.4.平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这两组平行线相交，可以构成个平行四边形.5．空间有三组平行平面，第一组有m个，第二组有n个，第三组有t个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行，可构成个平行六面体455C9830222mntCCC22mnCC课堂练习：6.高二某班第一小组共有12位同学，现在要调换座位，使其中有3个人都不坐自己原来的座位，其他9人的座位不变，共有种不同的调换方法7.某兴趣小组有4名男生，5名女生：（1）从中选派5名学生参加一次活动，要求必须有2名男生，3名女生，且女生甲必须在内，有种选派方法；（2）从中选派5名学生参加一次活动，要求有女生但人数必须少于男生，有____种选派方法；（3）分成三组，每组3人，有_______种不同分法.3122440C3645280课堂练习：8.九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？解：可以分为两类情况：①若取出6，则有种方法；②若不取6，则有种方法，211182772()ACCC1277CA根据分类计数原理，一共有+＝602种方法211182772()ACCC1277CA课堂练习：9.某餐厅供应盒饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜_____种.(结果用数值表示)7【解题回顾】由于化为一元二次不等式n2－n－40≥0求解较繁，考虑到n为正整数，故解有关排列、组合的不等式时，常用估算法.10.某电视台邀请了6位同学的父母共12人，请这12位家长中的4位介绍对子女的教育情况，如果这4位中恰有一对是夫妻，那么不同选择方法的种数是()(A)60