岩石弹性本构关系

5.1综述5.2岩石弹性本构关系5.3岩石流变理论5.4岩石强度理论第五章岩石本构关系与强度理论5.1综述研究对象：岩石或岩体.力学性质:表现为弹性、塑性、粘性或者三者之间的组合，如粘弹性、弹塑性、粘弹塑性等表示。岩石力学问题的求解过程从物体的单元微元体出发，研究微元体的力的平衡关系（平衡方程）、位移和应变的关系（几何方程）以及应力和应变的关系（本构方程或物理方程），得到相应的基本方程，然后联立并结合物体的边界条件求得整个物体内部的应力场和位移场。5.1综述几个概念：a.体积力：分布在物体体积上的力，如重力和惯性力b.表面力：分布在物体表面上的力，如流体压力和接触力符号规定(弹性力学)：在外法线的指向与坐标轴的正向一致的面上,应力的正向与坐标轴的正向相同;在外法线的指向与坐标轴的正向相反的面上,应力的正向与坐标轴的正向相反;正应变以伸长为正,压缩为负;剪应变以直角变小为正,变大时为负;作用力和位移以沿坐标轴的正方向为正,沿坐标轴负方向为负5.1综述1.平衡方程a.如右图所示，从物体中取出一个z方向单位长度的微元体，在x和y方向上的尺寸各为dx,dy。可看成平面问题b.由符号规定可知，应力全都是正的。c.对于平面问题，应力分量是位置坐标x和y的函数。d.设作用于左边面的平均正应力分量为σx，由于右边面在x方向上相差了dx的距离，则该面上的平均正应力分量表示为dxxxx同理，可表示出其他面上的正应力和剪应力分布。5.1综述通过中心点C并平行于Z轴的直线为矩轴，列出力矩平衡方程：0CM021212121dydxdydxdyydxdydxdydxxyxyxyxxyxyxy0dxdydxdyxyyx即忽略3阶小量，整理可得到即yxxy剪应力互等定理5.1综述以x轴为投影轴，列出平衡方程：0xF011111Xdxdydxdxdyydydydxxyxyxyxxxx0Xyxyxx经整理得到0Yxyxyy同理，得y方向平衡方程平衡方程5.1综述2.几何方程物体在外力作用下将产生形状和尺寸的改变，这种改变使物体内各点的位置发生了变化，即各点都有位移。推导应变分量与位移的关系。即几何方程如右图，在弹性体内任一点P，沿x轴和y轴的方向取两个微小长度的线段PA=dx和PB=dy，设弹性体受力后，P，A，B三点移动到P’，A’，B’。用u，v表示P点在x和y方向的位移分量，则A点在x方向的位移分量为dxxuu5.1综述因此，线段PA的正应变是：xudxudxxuuxyvdyvdyyvvy同理，线段PB的正应变为：PA，PB二线段之间直角的改变，也就是剪应变γxy。由图可知，剪应变由两部分组成，一部分是x方向的线段PA向y方向的线段PB的转角αyx，另一部分是y方向的线段PB向x方向的线段PA的转角αxy。因此PA的转角是：5.1综述由于P点在y方向的位移分量为v，A点在y方向的位移分量为：dxxvvxvdxvdxxvvyxyudyvdyyuuxy同理，PB的转角是：PA，PB之间直角的改变，即剪应变γxy为yuxvxyyxxy5.1综述综合以上三式，可得平面问题中的几何方程为：yuxvyvxuxyyx可以看出，平衡方程和几何方程与材料的性质无关；只有本构关系反映材料的性质。5.2岩石弹性本构关系a.岩石本构关系是指岩石的应力或应力速率与其应变或应变速率的关系。b.只考虑静力问题，则本构关系是应力与应变，或应力增量与应变增量之间的关系。c.岩石的变形性质按卸载后是否可恢复，弹性和塑性d.弹性和塑性是两种物质变形的性质，与时间无关，属即时变形。一般也是物质变形的两个阶段，物质在变形的初始阶段呈弹性，后期呈塑性，包括岩石。岩石变形一般为弹塑性。e.本构关系又分线弹性本构、非线性弹性本构、塑性本构、各向同性本构、非各向同性本构f.物体的应变或应力随时间而变化，则称物体具有流变性，流变本构关系5.2岩石弹性本构关系a.岩石强度是指岩石抵抗破坏的能力。破坏是指岩石材料的应力超过了它的极限或者变形超了它的限制。b.破坏两种形式：断裂破坏和流动破坏（显著塑性变形或流动现象）c.断裂破坏发生于应力达到强度极限，流动破坏发生于应力达到屈服极限。d.材料强度确定——试验方法。单轴压缩试验→单轴抗压强度；单轴拉伸试验→单轴抗拉强度；同时建立强度准则。复杂应力条件？？（仿照单轴情况一一试验，建立强度准则，难以实现）e.采用推理方法，提出一定假说，推测材料在复杂应力状态下破坏的原因，从而建立强度准则，这些假说称为强度理论。f.岩石力学性质：变形与强度，变形性质→本构关系；强度性质→强度准则5.2.1平面应力与平面应变问题平面应力设所研究的物体为等厚度薄板，所受荷载与z轴垂直，在z方向不受力，并且由于板很薄，外力沿z轴方向无变化，可以认为在整个板内任何一点都有：σz=0，τzx=0，τzy=0由剪应力互等关系，可知τxz=0，τyz=0。只剩下平行于xy面的三个应力分量，σx，σy，τxy=τyx，它们只是x和y的函数，不随z而变化，因此，这种问题称为平面应力问题。5.2.1平面应力与平面应变问题平面应变与平面应力问题相反，设有很长的柱形体，如右图的挡土墙，以任一横截面为xy面，任一纵线为z轴，所受荷载都垂直于Z轴而且沿z方向没有变化，则所有一切应力分量、应变分量和位移分量都不沿z方向变化，而只是x和y的函数。如果近似的认为墙的两端受到光滑平面的约束，使之在z方向无位移，则任一横截面在z方向都没有位移，也就是w=0，所有变形都发生在xy面内。这种情况称为平面应变问题。τzx=τzy=τxz=τyz=0，由于z方向伸缩被阻止，所以σz≠05.2.2平面弹性本构关系在完全弹性的各向同性体内，根据胡克定律可知zxzxyzyzxyxyyxzzxzyyzyxxGGGvEvEvE1,1,1)]([1)]([1)]([1式中，E为物体弹性模量；v为泊松比；G为剪切弹性模量，而)1(2vEG5.2.2平面弹性本构关系平面应变问题：τzx=τzy=τxz=τyz=0，εz=0，代入上式得平面应变问题本构方程：xyxyxyyyxxyxzEvvvEvvvEvv)1(21111)(22平面应力问题：τzx=τzy=τxz=τyz=0，σz=0，代入上式得平面应力问题本构方程：5.2.2平面弹性本构关系xyxyxyyyxxEvvEvE)1(211第三方向应变可表示为：)(yxzEv对比平面应力和平面应变的本构关系可以看出，只要将平面应力问题本构方程中有E换成E/(1-v2)，v换成v/(1-v)就可得到平面应变问题的本构5.2.3边界条件边界条件是求解弹性力学问题的重要条件，它可分为位移边界条件、应力边界条件和应力位移混合边界条件。位移边界条件设us，vs为物体的边界位移，u0，v0表示边界点在x，y轴方向的给定位移，则位移边界条件为：us=u0，vs=v0应力边界条件如右图所示，在物体边界上取一斜面，N代表斜面AB的外法线方向，X，Y表示边界上给定的面力在x，y轴方向的分量。设AB的长度为ds，5.2.3边界条件列出平衡方程：),cos(),cos(yNxNXyxx012),cos(),cos(1),cos(1),cos(1dsyNdsxNXyNdsxNdsdxXyxx),cos(),cos(yNxNXyxx除以ds，然后略去微量，从而得同理，可得出另一个方程，则平面问题的应力边界条件为：),cos(),cos(xNyNYxyy0xF0Xyxyxx0YxyxyyyuxvyvxuxyyxxyxyxyyyxxEvvEvE)1(211平衡方程几何方程本构方程5.2.4平面问题求解),cos(),cos(yNxNXyxx),cos(),cos(xNyNYxyy边界条件三组8个方程，包含8个未知数3个应力分量：σx，σy，τxy3个应变分量：εx，εy，γxy2个位移分量：u，v5.2.4平面问题求解求解弹性问题，有三种基本方法，即按应力求解、按位移求解和混合求解。按应力求解：变换基本方程和边界条件为应力分量的函数，求出应力分量后，代入本构关系求出应变分量，再代入几何方程求出位移分量。按位移求解：变换基本方程和边界条件为位移分量的函数，求出位移分量以后，代入几何方程求应变分量，再代入本构方程求出应力分量。混合求解：变换部分基本方程和边界条件为只包含部分求知函数，先求出这部分未知函数以后，再适当的方程求出其他的未知函数5.2.5岩石力学的习惯符号规定a.到目前为止有关力、位移、应变和应力的符号规定都是按照一般弹性力学通用规定。b.在岩石力学中，往往以承受压应力为主，如果仍采用弹性力学的符号规定，应力和应变计算的结果将出现很多负值，处理起来不方便。c.岩石力学的习惯符号规定力和位移分量的正方向与坐标轴的正方向一致；压缩的正应变为正；压缩正应力为正；假如表面的外法线与坐标轴的正方向一致，则该表面上正的剪应力的方向与坐标轴的正方向相反，反之亦然。