大学物理习题课-经典力学-2011.3.30

大学物理习题课质点运动学、牛顿定律、守恒定律、刚体定轴转动质点运动函数的描述参考系，常见参考系坐标系：直角坐标、极坐标、自然坐标轨迹函数F(x,y,z)=0位移和速度位移速度大小方向：轨迹切线质点运动学质点运动函数的描述参考系，常见参考系坐标系：直角坐标、极坐标、自然坐标位置矢量，运动方程：轨迹函数F(x,y,z)=0位移和速度位移速度大小方向：轨迹切线()()()rxtiytjztk21()()rrttrtrr0limtrdrvtdt||dsvvdt||dsvvdt•加速度0limtvdvatdt加速度方向：指向轨道曲线凹下的一侧•常见的几种运动•质点运动问题的求解正问题：位置（运动函数）速度加速度——求导反问题：加速度速度位置（运动函数）——积分匀加速运动抛体运动ax=0ay=-g圆周运动角速度角加速度加速度(切向分量，法向分量)a常矢量020012vvatrrvtat•伽利略变换：绝对速度＝相对速度＋牵连速度'vvu牛顿运动定律牛顿运动定律第一定律惯性和力的概念、惯性参考系第二定律第三定律,,dpdvFpmvFmmadtdt1221FF（适用于惯性系）1.万有引力Wmg2.弹性力正压力支持力拉力张力弹簧的弹力fkx（虎克定律）3.摩擦力滑动摩擦力kkfNmaxssfN静摩擦力大小可变最大静摩擦力4.黏滞阻力dfkv相对速率较小时（垂直接触面）（与相对运动或相对运动趋势方向相反）（与相对运动方向相反）相对速率较大时212dfCAv力学中常见的几种力rermmGF2212RGmgE重力（向下）牛顿运动定律的解题基本思路－认物体－看运动－查受力－列方程－解方程－讨论惯性系和非惯性系非惯性系中的力学定律，引入惯性力，则平动加速参考系转动参考系，惯性离心力Fma惯性力Fma惯2rnFmam惯守恒定律及其应用功动能定理一个质点质点系势能保守力沿任一闭合路径移动一周做功为零的力势能万有引力势能（无穷远为零点）重力势能（地面为势能零点）弹簧弹性势能（自然伸长位置为零点）,BABAdAFdrAFdr221122ABBAkBkAAmvmvEE()ABpBpApAEEEpMmEGrpEmgh212pEkxintextkBkAAAEE功能原理机械能守恒定律若则有000()()kkkpkpAAAEEAAEEEE外力保守内力非保守内力外力非保守内力0AA外力非保守内力00kpkpEEEE恒量2121ttIFdtmvmvP21ttIFdt210tiiiiitiiiIFdtmvmv动量定理冲量—力对时间的累积效应质点动量定理—合外力对物体的冲量等于动量的增量质点系动量定理—作用于质点系的合外力的冲量等于系统的动量的增量动量守恒定律（惯性系适用）系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变iiiiiPPmv＝恒量0iiF则质心概念质心位矢质心运动定理质点角动量定义对于某一定点角动量定理（合外力矩与角动量对同一定点定义）角动量守恒定律如则,iiiccmrrdmrrmmcFmaLrpmrvdLMdtMrF0ML恒矢量碰撞完全弹性碰撞：动量守恒，动能守恒。非完全弹性碰撞：动量守恒。完全非弹性碰撞：动量守恒。1.描述刚体定轴转动的物理量角位置tdd角位移角速度角加速度基本概念和规律ddt2.力矩和转动惯量(1)力矩MrF(2)转动惯量当刚体质量连续分布组合体的转动惯量123...iJJJJJ2ziiJmr2dJrmrs角量与线量的关系rvrat2ranzOkFr力矩的大小：Frsinθ=Fr0r0力臂3.刚体的定轴转动定律MJddJt4.角动量和冲量矩LJ刚体的角动量Mt21ttdMt恒力矩的冲量矩变力矩的冲量矩ddLMt5.角动量定理和角动量守恒定律角动量定理微分形式21dttMt21()()JJOirimivz积分形式冲量矩是反映力矩对时间累积效应的物理量J常量6.力矩的功21dZMA转动动能iiiKvmE)21(2212J刚体定轴转动动能定理21222111d22ZKAMJJE机械能守恒定律:只有保守内力做功时212CJmgh常量力矩的功率P＝Mω角动量守恒定律:当合外力矩为零时7.质点的运动和刚体的定轴转动物理量对比21dZMA质点直线运动刚体的定轴转动tdd位移x速度22ddddtxtva加速度xFAd功角位移角速度txvdd22ddddtt角加速度质量m2iirmJ转动惯量功动能221mvEK转动动能221JEKmv动量J角动量FvP功率MP角功率作业中问题矢量的符号，量纲不能丢解题过程的规范化（参考系/坐标/自定义符号的物理意义）给出解题时采用的图示，一目了然懒惰害人，不骗你！！！r,v,a,i,j,k21SIvS（）1.一质点在平面上作曲线运动，其速率v与路程S的关系为则其切向加速度以路程S来表示的表达式为at＝？2.有一列火车，在水平地面上以不变的加速度沿着直线向前运动，在某时刻从火车天花板上掉下一个螺丝帽，则在地面上静止的人看到螺丝帽的加速度大小为？方向是？，而在火车上静止的人看到螺丝帽的加速度大小为？（相对运动题目）a3.一光滑直杆OA与竖直轴Oz成角（为常数），直杆以匀角速度绕Oz转动，杆上有一质量为m的小滑环，在距离O点为l处与直杆相对静止如图所示。试以OA杆为参考系求出此时杆的角速度ω，并讨论小环是否处于稳定平衡状态？（惯性力题目）解：如图有0mgNF2sinFml沿着杆方向取投影有2(sin)sincos0mlmgzolAmmgNF1cos/singl2(sin)sincosmlmg与的大小是否稳定平衡，实际上是讨论例1已知:)SI()2(22jtitr求:2秒末速度的大小（基本概念题目）1-24342222sm58.3558242dd42222vttttrvtttrtytx解一：1-22222sm47.4522122222dd22vttvvvtvvjtitrvjtitryxyx解二：判断正误并说明理由思考例2.图中A为定滑轮，B为动滑轮，三个物体m1＝200g，m2＝100g，m3＝50g，滑轮及绳子的质量以及摩擦力忽略不计。求（1）每个物体的加速度；（2）两根绳子的张力T1和T2。（滑轮组、相对运动题目）1m2m3m1T2T解：以地面为参照系，用隔离法，画出各物体的受力图；标示各物体的假定加速度，并以它们为正方向。按牛顿第二定律，应有m1g-T1=m1a１m2g-T2=m2a2T２-m３g=m３a３T１=2T2另一方面，动滑轮B对地应有向上的加速度a１；设m２对B有向下的加速度a’，则m３对B有向上的加速度a′于是a2=a’-a１a3=a’+a１代入有关数据，即得a１=1.96m·s-2a’=3.92m·s-2a２=1.96m·s-2T１=2T２=1.57Na3=5.88m·s-2T２=0.785N例3：一辆装煤车以v=3.0m/s的速率从煤斗下通过，每秒落入车厢的煤为500kg。如果使车厢的速率保持不变，应用多大的牵引力拉车厢？忽略车厢与钢轨间的摩擦。(动量定理题目)对落入车厢的煤：车厢对煤的力f，在dt时间内，使dm的煤速度从0变为v则动量定理得：fdt=vdm对车厢：受拉力F和煤对车厢的反作用力f’；速度不变所以：（F-f’)dt=0f=f’=FF=vdm/dt=3*500=1500(N)例4.如图所示，一小物体放在一绕竖直轴匀速转动的漏斗壁上，漏斗每秒转n圈，漏斗壁与水平面成角，小物体和壁间的静摩擦系数为，小物体中心与轴的距离为r。为使小物体在漏斗壁上不动，n应满足什么条件？试以r、、等量表示之。（惯性力题目）xy本题为质点的圆周运动问题。物体有沿着漏斗内壁向下（或向上）滑动的趋势，静摩擦力的方向与滑动趋势方向相反。受力分析：物体受到重力mg，支持力N和摩擦力f的作用，这三个力的合力提供小物体作半径为r的圆周运动的向心力（水平方向，指向轴线）。在转速n较低时，物体有下滑趋势，摩擦力沿漏斗壁向上。建立坐标系沿坐标轴方向进行力的分解，列方程水平方向2211sincos(2)Nfmrmnr竖直方向cossin0Nfmg又sfN解得1(sincos)12(cossin)ssgnr解I：当n较大时，m有上滑趋势，摩擦力沿漏斗壁向下，力的平衡方程为竖直方向cossin0Nfmg又sfN解得2(sincos)12(cossin)ssgnr水平方向2222sincos(2)Nfmrmnr所以n在介于n1和n2之间时保持静止，即(sincos)(sincos)112(cossin)2(cossin)ssssggnrr转速较低时，静摩擦力向上，有：以旋转的漏斗为参照系，引入惯性力——离心力FNmgfF沿漏斗壁的平行和垂直方向建立坐标系，列力的平衡方程垂直壁方向sincosNFmg平行壁方向：sincosfmgF2(2)Fmnr解II：xy转速较高时，静摩擦力向下，有：sincosfmgF-sfN(sincos)(sincos)112(cossin)2(cossin)ssssggnrr得解：例5质量为7.2x10-23kg，速度为6.0x107m/s的粒子A，与另一个质量为其一半而静止的粒子B发生二维完全弹性碰撞，碰撞之后A的速率为5.0x107m/s。求：（1）撞后B的速率及相对A原来速度方向的偏角；（2）撞后A的偏角。（碰撞问题）分析：二者以何种方式碰撞，正碰？斜碰？若发生正碰，根据动量守恒和完全弹性碰撞前后动能不变的条件，即可得到碰撞后A的速率变为原来的三分之一，与题意不符。因此，此题隐含的意思是二者发生斜碰。βαvbva‘vayx解：如图建立坐标系'coscosaaaabbmvmvmv'aaaabbmvmvmv'0sinsinaabbmvmv水平方向分量式：竖直方向分量式：完全弹性碰撞，机械能守恒：22'2111222aabbaamvmvmv2abmm碰撞系统的动量守恒有：联立上述等式，可求得：2'272()4.6910/baavvvms2'2''3arccos22204oaaaavvvv'3arccos54604obavv例6如图所示，用一穿过光滑桌面上小孔的软绳．将放在桌面上的质点m与悬挂着的质点M连接起来，在桌面上作匀速率圆周运动。问：（1）若绳的质量可以忽略不计，m桌面上作圆周运动的速率v和圆周半径r满足什么关系时才能使M静止不动?（2）若绳的质量为m0，长度为L，则v与r应满足怎样的关系？（微积分应用）解：（1）mMrvmgNT’MgTM和m的受力分析如图对m2vTmr当M静止时．对M有'TMg'TT解得2vMgrm（2）若绳的质量不为0，则作圆周运动的绳也需要向心力设绳的线密度为0mL距离圆心x处的长度为dx的一段绳质量为dmdx在水平方向上有2'22()()xxvvTTdTdmxxdxrr积分得22222022''''|222TrTvvvdTTTxrrrd