矩阵的秩求法

定义2在m×n矩阵A中任取k行、k列（k≤m,k≤n），位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。m×n矩阵A的k阶子式共有CmkCnk个。定义2设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果有的话）全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)=r。规定零矩阵的秩等于0。上页下页返回（3）对于任何m×n矩阵A，都有唯一确定的秩，且R（A）≤min(m,n)；（4）若矩阵A中有一个r1阶子式不为零，则R（A）≥r1；若矩阵A的所有r1＋1阶子式全等于零，则R（A）≤r1。（2）A的转置矩阵AT的秩R(AT)=R(A)；由定义可知:(1)矩阵A的秩R(A)就是A中不等于0的子式的最高阶数；上页下页返回上页下页(5)对于n阶可逆矩阵A，有|A|≠0=R(A)=n=A的标准形为n阶单位阵E可逆阵又称为满秩矩阵。奇异阵又称为降秩矩阵。例1求矩阵A和B的秩，其中.00000340005213023012,174532321BA解在A中，容易看出左上角一个2阶子式,03221A的3阶子式只有一个|A|，经计算可知|A|=0，因此R（A）=2。上页下页返回B是一个阶梯形矩阵，其非零行有3行，即知B的所有4阶子式全为零，而3阶子式,024400230312因此R（B）=3。.00000340005213023012B上页下页返回从本例可知，由矩阵A的秩的定义求秩，关键在于找A中不等于0的子式的最高阶数。一般当行数与列数都较高时，按定义求秩是很麻烦的。对于行阶梯形矩阵，显然它的秩就等于非零行的行数。因此自然想到用初等变换把矩阵化为行阶梯形矩阵，但两个等价的矩阵的秩是否相等呢？上页下页返回经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩也不变。上页下页返回定理1若A～B，则R（A）=R（B）。定理1说明：矩阵经初等变换后其秩不变，因而把矩阵用初等变换化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数即为所求矩阵的秩。这是求矩阵秩的一种常用方法。证明:略注1注2求矩阵13142781221124A的秩。解13142781124221~21rrA9100910091002212~4141312rrrrrr,00000091002212~142423Brrrrrr可见R（B）=2，所以R（A）=2。例2上页下页返回例3,41461351021632305023A设求矩阵A的秩，并求A的一个最高阶非零子式。解先求A的秩，为此对A作初等行变换变成行阶梯形矩阵：上页下页返回,41461351021632305023A128121601179120113404146132~14134241rrrrrrrr上页下页返回1281216011791201134041461840008400011340414614~32423rrrr上页下页返回84000840001134041461,00000840001134041461~334Brr易见R（B）=R（A）=3。上页下页返回再求A的一个最高阶非零子式。因R（A）=3，知A的最高阶非零子式为3阶。A的3阶子式共有).(403534个CC要从40个子式中找出一个非零子式，是比较麻烦的。考察A的行阶梯形矩阵，记,,,,,54321aaaaaA则矩阵4211,,aaaA的行阶梯形矩阵为,00040014016100000840001134041461B上页下页返回,3)(1AR因而1A故中必有3阶非零子式。的1A3阶子式有4个，在1A中找一个3阶非零子式比在A中找要方便得多。1A的前三行构成的子式,016502623523因此，这个式子便是A的一个最高阶非零子式。上页下页返回注：A的最高阶非零子式不一定唯一。事实上，从上例中还可以找到很多非零的3阶子式。由矩阵的秩的定义，可以进一步得到如下结论：设矩阵A中有一个r阶子式,0rD而所有包含的rDr+1阶子式（如果有的话）全为0，则A中所有r+1阶子式全为0，从而R（A）=r。利用该结论可计算矩阵的秩，且所需计算的r+1阶子式数从11rnrmCC个减少到这里的)()(rnrm个。上页下页返回Ex1.,31302140111512012211A设求矩阵A的秩，并求A的一个最高阶非零子式。上页返回