应用多元分析习题解答

1《应用多元分析》（第四版）习题解答①王学民编第一章1.12xyxyxxxyyxyyxxxyyy。1.2见书后附录。1.3见书后附录。1.42222222222222222222222222222222222221010100111111011011010110110110101111011011101111xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxA22222222222222224244810101111111111xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx1.5见书后附录。1.6（1）1115100131321210032003535001313==00201200002000404100400（2）作如下的行变换：①《应用多元分析》（第四版）书后附录给出了部分习题的解答，本文给出其余所有习题的解答。21231001231001231002310100152100152103120010573010018751123100123100175015210010181818751751001001181818181818161410318181051710018181818175175010010181818181818751751001001181818181818所以11235171231175183127511.7新旧坐标系变换为cossinsincosuxvy，故变换矩阵为cossinsincos。1.8（1）1111111111111111111101011111001pppppppA（2）11110111pppA或（3）111111101111pppAI31101011001111ppp故A的p个特征值中，有(p−1)个特征值为1−ρ，另一个特征值为1+(p−1)ρ。1.9221141101214211124121111114121401041112001AI所以123=4,==1。从1123212331232112412121122xxxxxxxxxxxxAIx0可解得单位特征向量为111=131x；同理，从AIx0可解得两个可能的正交单位特征向量为231111=1=12602xx和。1.10由于11AAAAI，故11AA；因11ACCAI，从而111ACCA。1.11设A为正交矩阵，则=AAI，于是21AAA，从而11AA或。1.12由例1.6.2知，Q′AQ和A=(AQ)Q′有相同的特征值。1.13由（1.6.3）式知，rank()rank()AΛA的非零特征值个数1.14(1)22221111nniiiinxxxnxnnxxxxIxxAx1114这里121,,,nnxxxnxAI11，；（2）显然，AA，又2211nnnnAIIA1111=，故A是投影矩阵；（3）由于对任意的12,,,nxxxx，210niixxxAx，故0A。又因1nnAI111111=0，从而A不是列满秩的，故A不是正定矩阵①；（4）见书后附录。1.15见书后附录。1.16对A作如下行变换：第三行减去3倍的第一行后皆为0，第四行减去2倍的第二行后皆为0，第五行加上第二行再减去3倍的第一行后皆为0，而第一行和第二行线性无关，故A的秩为2。1.17易求得A的特征值为1+ρ和1−ρ，相应的单位特征向量分别为11221122和，再由例1.6.4（i）可得，A−1的特征值为1111和，相应的单位特征向量仍分别为11221122和，从而A和A−1的谱分解分别为111111221,1,11222222A11111111122,,1111222222A两个谱分解中，相应的特征值不同且互为倒数，而相应的特征向量相同。1.18设00ijaA（或），则00iiiiaeAe（或），其中0,,0,1,0,,0ie，①也可利用本题（4）的结果得出。51在第i个位置上。1.19(1)见书后附录；(2)对任一相应维数的x≠0，依该题的“提示”，有11211222111121222121222221111211222121222221,,0AxxAxxAAAIxIAAxAAAAIIIAAIxxAAIAAAAI00000-0-0000--00故1120A；同理可证，2210A。1.20(1)若220A，则利用习题1.19“提示”中的关系式，有1111211212221122212122222122=AAIAIAAAAAAAAAIAI00--00同理，若110A，则有22111AAA；(2)在习题1.19的“提示”中，关系式两边取逆，得111111112112122212221212222=IAAAIAAAAIAAAI00--00所以111112122211222122IAIAAAAAIAI00--00同理可证另一等式。1.21可求得对称矩阵A的最大特征值λ1=11.745和最小特征值λ3=0.255，这就分别是xAxxx的最大值和最小值。第二章2.1（1）113113220000004ddd1ddd19kxyzxyzkxxyyzzk；（2）证法一131322000013132200001111222000044()dddd2,019944()dddd2,0199441()dddd,03999xyzfxxyzyzxyyzzxxfyxyzxzyxxzzyyfzxyzxyzxxyyzz6从而(,,)()()()xyzfxyzfxfyfz，所以,,xyz相互独立；证法二由于①22,0,1;03(,,)0,,01,01,030,0,0,kxyzxyzfxyzkxxyyzz其他其他其他其他故,,xyz相互独立。（3）由,,xyz相互独立，可得2,011|,120,xxxfxyzfx其他2.23121233123123123123()123(,,)(,,)d(1e)d(1e)d(1e)ddde,,,0cxaxbxaxbxcxfxxxFxxxxxxxxxabcxxx2.3221222221212211122122222221221()(,)d=e(1sinsin)d2111eedesinesind222xxxxxxfxfxxxxxxxxxx因为2221e2x是分布N(0,1)的密度，所以有22221ed=12xx，又由于2222esinxx是奇函数，从而22222esind=0xxx，故有2121111()e,2xfxx即x1服从N(0,1)。同理可证，x2亦服从N(0,1)。2.4①只需将联合密度函数表达为各单变量函数的乘积即可。71112323221232330022222312323300002222231223330000222123300()(,,)dd1(1sinsinsin)dd81ddsinsinsindd81ddsinsindsind814sincoscos8fxfxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx11,022x同理2223331()0221()022fxxfxx，，又1212123321233302231233300212330122(,)(,,)d1(1sinsinsin)d81dsinsinsind812sinsincos81,0,24fxxfxxxxxxxxxxxxxxxxxx同理131313223232321(,),0,241(,),0,24fxxxxfxxxx可见121211221313113323232233123112233(,)=()()(,)=()()(,)=()()(,,)()()()fxxfxfxfxxfxfxfxxfxfxfxxxfxfxfx故123,,xxx两两独立但不相互独立。2.5见书后附录。2.6（1）120()(,)d=6(2)d=43,01xfxfxyyxyxyyxxx8120()(,)d=6(2)d=43,01yfyfxyxxyxyxyyy对于6(2),01(,)4301(|)=()0,yxxyxfxyyyfxyfy，其他；对于6(2),01(,)01(|)=43()0,xyxyyfxyxfyxxfx，其他。因(,)()()xyfxyfxfy，故x和y不独立；（2）222)0()(,)d=4ed=2e,0xyxxfxfxyyxyyxx（222)0()(,)d=4ed=2e,0xyyyfyfxyxxyxyy（因(,)=()()xyfxyfxfy，故x和y独立，由此可得对于y0，22e,0(|)=()=0,0