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专题圆周运动中的临界问题要点精讲易错明辨科学思维析要点要点1|水平面内圆周运动的临界问题水平面内圆周运动的临界极值问题通常有两类，一类是与摩擦力有关的临界问题，一类是与弹力有关的临界问题.1.与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有Fm＝mv2r，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心.2.与弹力有关的临界极值问题压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳子拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等.如图所示，水平转盘的中心有一个光滑的竖直小圆筒，质量为m的物体A放在转盘上，物体A到圆心的距离为r，物体A通过轻绳与物体B相连，物体B的质量也为m.若物体A与转盘间的动摩擦因数为μ，则转盘转动的角速度ω在什么范围内，物体A才能随盘转动？典例1【解析】由于A在转盘上随转盘做匀速圆周运动，所以它所受的合力必然指向圆心.对物体A进行受力分析可知，重力与支持力平衡，绳的拉力指向圆心，因此A所受的摩擦力方向一定沿着半径方向，或指向圆心，或背离圆心.具体而言，当ω较小时，A有向圆心O运动的趋势，故转盘对A的摩擦力方向背离圆心；当ω较大时，A有远离圆心O运动的趋势，故转盘对A的摩擦力方向指向圆心.当A将要沿转盘背离圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向指向圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力，即F＋Fm＝mrω21，①由于B静止，则有F＝mg②又因为Fm＝μFN＝μmg③由①②③式可得：ω1＝g(1＋μ)r.当A将要沿转盘指向圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向背离圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为F－Fm＝mrω22④由②③④式可得：ω2＝g(1－μ)r.故要使A随转盘一起转动，其角速度ω的范围为ω2≤ω≤ω1，即g(1－μ)r≤ω≤g(1＋μ)r.【答案】g(1－μ)r≤ω≤g(1＋μ)r(2018·湖北期中)如图所示，两根轻绳同系一个质量m＝0.14kg的小球，两绳的另一端分别固定在轴上的A、B两处，上面绳AC长L＝2.00m，当两绳都拉直时，与轴的夹角分别为37°和53°，小球随轴一起在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度g取10m/s2，已知sin37°＝0.60，cos37°＝0.80.求：变式训练1－1(1)若要两绳均处于拉直状态，小球的角速度ω1至少为多少？(2)当小球的角速度为ω2＝4.00rad/s时，两轻绳拉力各为多少？解析：(1)分析可知，小球绕轴做匀速圆周运动，AC绳一定有拉力，当角速度较小时，BC绳拉直但无拉力，重力和AC绳拉力的合力提供向心力.根据牛顿第二定律，mgtan37°＝mω21Lsin37°解得ω1＝2.5rad/s.(2)当角速度较大时，AC绳没有拉力，当AC绳拉直但没有力时，小球受到的重力和BC绳拉力的合力提供向心力.根据牛顿第二定律，mgtan53°＝mω20Lsin37°解得ω0＝103rad/s分析可知，当2.5rad/s＜ω＜103rad/s时两绳均张紧当ω2＝4rad/s时，AC绳无拉力此时BC绳与杆的夹角θ＞53°竖直方向上，T2cosθ＝mg水平方向上，T2sinθ＝mω22BCsinθ根据几何关系可知，ACsin37°＝BCsin53°联立解得T2＝3.36N，T1＝0.答案：(1)2.5rad/s(2)03.36N名师方法总结(1)典例中要注意分析物体A所受静摩擦力大小和方向随圆盘转速的变化而发生变化.(2)典例中的临界条件是物体A所受静摩擦力达到了最大静摩擦力，此时对应的角速度也达到了临界值.名师点易错静摩擦力的方向是与物体相对运动趋势方向相反，在圆周运动中要分清物体相对运动趋势方向.要点2|竖直面内圆周运动的临界问题1.轻绳模型如图所示，细绳系的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，即mg＝mv2r，则v＝gr.在最高点时：(1)v＝gr，拉力或压力为零.(2)v＞gr时，物体受向下的拉力或压力.(3)v＜gr时，物体不能达到最高点.即绳类的临界速度为v临＝gr.2.轻杆模型如图所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是：在最高点的速度大于或等于零，小球的受力情况为：(1)v＝0时，小球受向上的支持力FN＝mg.(2)0＜v＜gr时，小球受向上的支持力0＜FN＜mg.(3)v＝gr时，小球除受重力之外不受其他力.(4)v＞gr时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大.即杆类的临界速度为v临＝0.一根长L＝60cm的绳子系着一个小球，小球在竖直平面内做圆周运动.已知球的质量m＝0.5kg，求：(1)试确定到达最高点时向心力的最小值；(2)小球能够到达最高点继续做圆周运动的最小速度；(3)当小球在最高点时的速度为3m/s时，绳对小球的拉力.(g＝10m/s2)典例2【解析】(1)小球通过最高点的临界条件是重力提供向心力，故向心力的最小值为mg＝5N.(2)小球通过最高点的最小速度为vmin，mg＝mv2minL，解得vmin＝gL＝6m/s.(3)当小球在最高点时的速度为3m/s时，拉力和重力的合力提供向心力，mg＋F＝mv2L，代入数据解得F＝2.5N.【答案】(1)5N(2)6m/s(3)2.5N如图所示，质量为m的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径.某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，空气阻力不计，问：变式训练2－1(1)要使盒子在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，则该盒子做匀速圆周运动的周期为多少？(2)若盒子以第(1)问中周期的12做匀速圆周运动，则当盒子运动到图示球心与O点位于同一水平面位置时，小球对盒子的哪些面有作用力，作用力为多大？解析：(1)设此时盒子的运动周期为T0，因为在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，因此小球仅受重力作用.根据牛顿运动定律得mg＝mv2R，又v＝2πRT0，得T0＝2πRg.(2)设此时盒子的运动周期为T，则此时小球的向心加速度a＝4π2T2R，由第(1)问知g＝4π2T20R，且T＝T02，由以上三式得a＝4g，设小球受盒子右侧面的作用力为F，受上侧面的作用力为FN，根据牛顿运动定律知在水平方向上有F＝ma＝4mg，在竖直方向上有FN＋mg＝0，即FN＝－mg，F为正值，FN为负值，所以小球对盒子的右侧面和下侧面有作用力，大小分别为4mg和mg.答案：(1)2πRg(2)右侧面，4mg下侧面，mg名师方法总结解答竖直平面内圆周运动临界问题时应注意以下几点：(1)要明确运动的模型，即绳或杆.(2)分析物体的受力情况，找到向心力来源.(3)会应用向心力公式列方程.列方程时以指向圆心为正方向，若未知的力求出为正，说明该力的方向与正方向一致，若求出为负，说明该力方向与正方向相反.名师点易错杆提供的不一定为支持力，也可以为拉力.知识反馈自查自评当堂训练助理解对点训练一水平面内圆周运动问题1.(多选)如图所示，一个质量为m的小球用一根长为l的细绳吊在天花板上，给小球一水平初速度，使它在水平内做匀速圆周运动，此时细绳与竖直方向的夹角为θ、重力加速度为g.下列说法正确的是()A．细绳对小球的拉力大小为mgcosθB．细绳对小球的拉力大小为mgtanθC．小球做圆周运动的线速度大小为glsinθtanθD．小球做圆周运动的线速度大小为glsinθcosθ解析：小球受重力和拉力两个力作用，靠两个力的合力提供向心力，根据平行四边形定则知，细绳对小球的拉力T＝mgcosθ，故A正确，B错误；根据牛顿第二定律得，mgtanθ＝mv2lsinθ，解得v＝glsinθtanθ，故C正确，D错误.故选AC．答案：AC2.(2018·四川省高三二模)如图所示，天花板上有一可自由转动光滑小环Q，一轻绳穿过Q，两端分别连接质量为m1、m2的A、B小球.两小球分别在各自的水平面内做圆周运动，它们周期相等.则A、B小球到Q的距离l1、l2的比值l1l2为()A．m21m22B．m22m21C．m1m2D．m2m1解析：一根绳子的张力F是相等的，对于A球，Fsinθ1＝m12πT2l1sinθ1，对于B球，Fsinθ2＝m22πT2l2sinθ2，联立可知，m1l1＝m2l2，即l1l2＝m2m1，D选项正确.答案：D对点训练二竖直面内圆周运动问题3.(多选)一杂技演员骑摩托车沿一竖直圆形轨道做特技表演，如图所示.A、C两点分别是轨道的最低点和最高点，B、D分别为两侧间的端点，若运动中的速率保持不变，人与车的总质量为m，设演员在轨道内逆时针运动.下列说法正确的是()A．人和车的向心加速度大小不变B．摩托车通过最低点A时，轨道受到的压力不可能等于mgC．由D点到A点的过程中，人受重力、支持力、摩擦力、向心力4个力的作用D．摩托车通过B、D两点时，轨道受到的压力相同解析：据题知，人和车做匀速圆周运动，速率不变，由公式a＝v2r知，向心加速度大小不变，故A正确；摩托车通过最低点A时，重力和支持力的合力提供向心力，有：N－mg＝mv2r，得N＝mg＋mv2r，故轨道的支持力一定大于重力mg，根据牛顿第三定律，轨道受到的压力大于mg，故B正确；由D点到A点的过程中，人受重力、支持力、摩擦力3个力的作用，故C错误；摩托车通过B、D两点时，轨道受到的压力均为N＝mv2r，但是压力的方向不同，故D错误.故选AB．答案：ABword部分：请做：课时跟踪检测模拟考场巩固提升点此进入该word板块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