高等数学第二章复习题及答案

高等数学习题集及解答第二章一、填空题1、设()fx在xa可导，则0()()limxfaxfaxx。2、设(3)2f，则0______________(3)(3)lim2hfhfh。3、设1()xfxe，则0_____________(2)(2)limhfhfh。4、已知00cos(),()2,(0)1sin2xfxfxxx，则0_______________________()fx。5、已知2220xyyx，则当经x＝1、y＝1时，_______________dydx。6、()xfxxe，则_______________(ln2)f。7、如果(0)yaxa是21yx的切线，则__________a。8、若()fx为奇函数，0()1fx且，则0_________________()fx。9、()(1)(2)()fxxxxxn，则_________________(0)f。10、ln(13)xy，则____________________y。11、设0()1fx，则0___________00lim(2)()xxfxxfxx。12、设tanxyy，则_________________________dy。13、设21ln1xyx，则_______________(0)y。14、设函数()yfx由方程42lnxyxy所确定，则曲线()yfx在点（1，1）处的切线方程是______________________。15、1cos0()00xxfxxx，其导数在0x处连续，则的取值范围是_______________________。16、知曲线323yxaxb与x轴相切，则2b可以通过a表示为____________。二、选择题。17、设()fx可导，()()(1sin)Fxfxx，则(0)0f是()Fx在0x处可导的（）。A充分了必要条件，B充分但非必要条件，C必要条件但非充分条件，D既非充分条件又非必要条件。18、函数3221()31xxfxxx在1x处（）A左右导数均存在，B左导数存在，右导数不存在，C左导数不存在，右导数存在，D左右导数均不存在。19、设周期函数()fx在(,)内可导，周期为4，又0(1)(1)lim12xffxx，则曲线()yfx在点(5,(5))f处的切线斜率为（）A12，B0，C–10，D–2。20、设函数11cos(1)1()0axxfx11xx则实常数a当()fx在1x处可导时必满足（）A1a；B10x；C01x；D1a21、已知212()2xxxaxbx，且(2)存在，则常数,ab的值为（）A2,1;abB1,5;abC4,5;abD3,3.ab22、函数()fx在(,)上处处可导，且有(0)1f，此外，对任何的实数,xy恒有()()()2fxyfxfyxy，那么()fx（）A;xeB;xC21x；D1x。23、已知函数()fx具有任何阶导数，且2()[()]fxfx，则当n为大于2的正整数时，()fx的n阶导数()()nfx是（）A1![()]nnfx；B1[()]nnfx；C2[()]nfx；D2![()].nnfx24、若函数()yfx有01()2fx，则当0x时，该函数在0xx处的微分dy是x的（）A等价无穷小；B同阶但不等价的无穷小；C低阶无穷小；D高阶无穷小。25、设曲线1yx和2yx在它们交点处两切线的夹角为，则tan（）A1；B1;C2；D3。26、设由方程组2110yxttey确定了y是x的函数，则202tdydx（）A21e；B212e；C1e；D12e。一、填空题的答案1、2)(af2、-1；3、2141e；4、35、-16、6+2ln27、28、19、n!10、-xx313ln311、112、dxydy1sec1213、2314、0yx15、216、624ab二、选择题答案：17、A18、B19、D20、A21、C22、C23、A24、B25、D26、B三、综合题：27、求曲线cuxy上与直线1yx垂直的切线方程。剖析：求曲线的切线议程关键有垂点，一是求切点，二是求切线斜线。解：设切点为)(00yx则点).(00yx处的切线斜度为001|xxxyk依题意知所求切线（）坐yx1垂直，从而110x10x利切点为)01(、；切线（）为.1k故所求切线方程为10xy即：1xy设xexf1)(则21041)2()2(limetcftcft9、如果)(xf为偶函数，且)0(f存在证明0)0(f证明：因为)(xf为偶函数，所以)()(xfxf从而)0(0)0()()(lim0)0()(lim)0(00fxfxfxfxfxffxx:0)0(2f故0)0(f28、讨函数0001sin2xxxxy在0x处方程连续性与可得解：)0(1sinlimlim200yxxyxx，所以函数y在0x处连续又01sinlim1sinlim0)0(lim0200xxxxxxyyxxx故函数y在0x处可导、值0|0xyx29、已知00)(2xxxxxf求)0().0(ff及是否存在)0(2f解:0lim0)0()(lim)0(200xxxfxffxx1lim0)0()(lim)0(00xxxfxffxx故不存在)0(f30、已知)(00sin)(,xfxxxxxf求解：xxfxcos)(.0时当1)(.0xfx时当11lim)(lim)0(00xxxff所以：1)0(1f从而010cos)(xxxxf31、证明：双曲线22axy上往一点处切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a。证明：设),(00yx为双曲线2axy上的一点，则该点处切线的斜率为,202xak从而切线方程为)(00202xxxayy令0x得y轴上的截距为020202xaxayy令0y得x轴上的截距为02xx从而20202|2.2|21|||21axaxyxs32、设xeyx1sin1tan求y解：)1(sin1sin)(1tan1tanxexeyxx)1(1cos1sin)1)(1(sec21tan221tanxxexxxexx33、设)2323(xxfy在2arcsin)(xxf求0xdxdy解：设2323),(xxuufy则：2)23()23(3)23(3)()2323)((xxxufxxufdxdy22)23(12)(arcsinxu222312)2323arcsin(xxx从而231arcsin3|0xdxdy34、设0001arctan)(22xxxxxf，讨论0)(xxf在点处连续性剖析：本题需先求)(xf的表达式，再讨论)(xf在点0x处的连续性解：当2232)1(121arctan)(0xxxxxfx时422121arctanxxx21arctanlim0)0()(lim200xxxxfxffxx从而：020121arctan)(422xxxxxxf由于)0(2121arctanlim)(lim42200fxxxxfxx处连续在点0)(xxf35、:,)(dxdyyxf的导数求下列函数可导设（1）)(2xfy（2）)(cos)(sin22xfxfy解：（1）)(22)(22xfxxxfy（2）))(cos(cos))(sin(sin2222xxfxxfy=xxxfxxxfsincos2)(coscossin2)(sin22=)(cos)(sin2sin2121xfxfx37、设)(,)11(lim)(2tfxtxftxx求提示：ttetf2)(。答案：tettf2)21()(38、求212arcsintty导数解:22222)1(22)1(2)12(11tttttty=22221)1(2)1(1ttt=1121122222tttt39、yfxxfy求二阶可导,),(2解xxuufy2),()12()()(2xxxfuufy)()12()(2222xxfxxxfy40、设)(2651nyxxy求剖析：此类函数直接求导，很难找出规律，先对而后求导再将又拆项分解因式,,652x11)(443322)3(!)1()2(.!)1()3(2.3)2(2.3)3(2)2(2)3(1)2(13121)3)(2(1nnnnxnxnyxxyxxyxxyxxxxy41、求下列函数的n阶导数的一般表达式xy2sin)1(xxyln)2(xxey)3(3,2,)!2()1(23211ln1)2(2)1(2sin2)222sin(2)22cos(2)22sin(22cos22sin)1(:1)(4)5(3)4(21)(2nxnyxyxyxyxyxy、nxyxxyxxyxy、nnnnn解xnxxxxxxxxexnyexyexxeeeyexxeey、)()3()2()1()3()(44、求曲线tytx33sincos上对应于6t点处的法线方程从而所求法线方程为时当则解法切,818336333|tantan)sin(cos3cossin3632yxtKtKtttttdxdy：t13)833(381xyxy220sin21)(45dxydyyxxyy、确定的求是由方程设函数3222)2(cossin4)cos2(sin2)cos2()cos2(2cos220cos2110sin21:yyyyyyydxydydxdyyyyyxyyx得求导数有两边对将方程解46、求二导数xxayxln1剖析：由于函数是根式私连乘，所以用对数示导法取对数有将解xxayxln:1)ln21ln1(ln21)ln21ln1(2:ln41212ln.1lnln41ln21ln21ln12xxaxxaxxxaxyyxxxxayyxxxaxyx从而求导数再将上式两边47、（相关变化率问题是）设气球以100cm3的速度，浸入气球（假设气球是球体）求在半径为10cm的气球半径增加的速度（假空气体压力不变）剖析：解决相关变化率问题一般分三步：第一步：是建立气球体积v和半径r之间的关系。第二步：根据等式找出的关系和dxdrdxdy第三步：由己知的变化率求出未知的变化率解：v=334rdtdrrdtdv.42由scmdtdv/1003r=10cm)/(41scmdtdr即当r=10cm时半径以)/(41scm的速率增加。48、已知ttytxarctan)1ln(2求3