用组合积分法对几类积分进行求解(求积分的捷径-不得不看)

1用组合积分法对几类积分进行求解0引言及定义积分在微积分中占有极为重要的地位,它与微分比较,难度大,方法灵活,掌握积分的基本方法(如换元法,分部积分法等)是十分必要的,但这是远远不够的,还必须掌握一些特殊的积分方法,以便能顺利、快速、准备地计算出函数的积分来.组合积分法是一种全新的积分方法,它能顺利解决用传统积分法很难求解甚至不能求解的各类函数有理式的积分问题.华罗庚教授在他的著作《高等数学引论》一书中,举出了这样一个求不定积分的例子：求dxxbxaxTsincossin1,dxxbxaxTsincoscos2.我们可以用代换2tanxt,分别求出1T与2T,但还有更简单的方法,即)2(,sincosln)sincos()sincos(sincoscossin)1(,221121CxbxaxbxaxbxaddxxbxaxbxabTaTCxdxaTbT由此可得,,]sincosln[1221CxbxaabxbaT,]sincosln[1'222CxbxabaxbaT华教授的解法为什么可以简化运算呢？在这里,他巧妙地两个结构相似的积分组合在一起,成为一个以所求积分为变量的1T,2T的二元方程组,解此方程组,即得所求不定积分,像这样用解方程组求解问题的方法称为组合法,用组合法求积分的方法称为组合积分法.用组合法求解积分问题的关键,是在式(2)中利用了凑微分公式(-asinx+bcosx)dx=d(acosx+bsinx).下面给出一些定义：定义1设函数()fx与()gx为可导函数,如果'()()fxgx,且'()()gxfx,(为任意常数),那么称()fx与()gx为互导函数,若'()()fxgx,且'()()gxfx,则称()fx与()gx为相反互导函数,为互导系数.2定义2设函数()yfx为可导函数,如果'()()fxfx(为任意常数),那么,称函数()yfx为自导函数,为自导系数.组合积分法分为两大类型,即参元组合法与分解组合法.在求一个积分I时,找出另一个与I结构相似的积分J,然后将两个积分组合起来,通过解I与J的方程组求解积分的方法叫做参元组合法.将一个积分分为两个结构相似的积分为I与J,将I与J组成一个方程组,解方程组即得积分I与J,最后将I与J联合成所要求的积分,这种求积分的方法叫做分解组合法.1三角函数有理式的积分１.１含有nxbxacossin的积分对于分母含有nxbxacossin的三角函数有理式的积分,可考虑使用组合积分法,先证明两个递推公式.定理1设)arctan,1(,)cossin(abkxnxbxadxJnn则])cossin(cossin)2[())(1(11122nnnxbxaxaxbJnbanJ.证由nnnnnnnnnJndxxbxabanxbxaxaxbdxxbxaxaxbnxbxaxaxbxbxadxaxbxbxaxaxbxbxaxaxbdxbxadxxbxaJ)1()cossin()()1()cossin(cossin)cossin()cossin()1()cossin(cossin)cossin()cossin()cossin(cossin)cossin()cossin(cossin)cossin(2221221111所以有1222)cossin(cossin))(1(nnnxbxaxaxbJbannJ将n-2代替式中的n,得,)cossin(cossin))(1()2(1222nnnxbxaxaxbJbanJn3故得递推公式].)cossin(cossin)2[())(1(11222nnnxbxaxaxbJnbanJ定理2设,)cossin(nnxbxadxJ,2211babbaaA2211babaabB则).arctan,1.(,)cossin(11)cossin(cossin1111abkxnxbxanBAJdxxbxaxbxaInnn证用组合积分法来证明.令,)cossin(sin1dxxbxaxIn,)cossin(cos21dxxbxaxIn则121)cossin(111)cossin()cossin(nnxbxanxbxaxbxadaIbI所以有,)cossin(1111221221nnxbxanbabJbaaI.)cossin(1111221222nnxbxanbaaJbabI于是有.)cossin(11)cossin(1111112211122112111nnnnxbxanBAJxbxanbabaabJbabbaaIbIaI要记住这两个递推公式不是一件容易的事情,实际上只需记住递推公式的证明思路,直接用组合积分法求解即可.１.２含有a+bsinx与c+dcosx的积分例1求.sin1sindxxx解法1令I.sin1sindxxx.sin1sindxxxJ则xxdxxdxxdxxxJIxdxxxdxxxJI2tan2)1(sec2tan2sin1sin2,cos2cossin2.sin1sin222222224所以有I=Cxxxtancos1解法2Cxxxdxxxxdxxxtancos1cossinsin.sin1sin22解法3用代换,2tanux,12sin2uux,122ududx所以有.)1)(1(41212112.sin1sin22222duuuuuduuuuudxxx显然以上解法太繁,不宜采用.事实上,将原积分化为,sin1.)sin111(xdxdxdxx再对后一积分做代换,2tanux,12sin2uux,122ududx则有.2tan1212)1(2121211sin1222xuuduuduuuxdx所以有.2tan12sin1sinCxxdxxx显然用解法2较简单,但较复杂的情形用解法1较好.例2求dxxdcxbaIcoscos11(dc)解设,cos1xdcdxI,cos2xdcdxI则xdxdxccxdcdxcII222222221cossec12cos2,tanarctan2)tan()tan(22222222dcxcdcxcdcxcd),(sinsin2coscos2222222221xdxddcddxxdcxdII2222sinarctan2dcxddc5所以有)sinarctantan(arctan1222221dcxddcxcdcI22222222sintan1sintanarctan1dcxddcxcdcxdxcdc,cossinarctan12222xcdxdcdc上述结果与查表求得的结果一致,可见用组合积分法能顺利地求出积分表中较难的积分公式.此公式如用万能代换,令来求出,将是比较困难的.１.３有a+bsinxcosx的积分例3求.cossin1cosdxxxxI解这里如果用万能代换,设,2tanux,则,11cos22uux,12sin2uux,122ududx原积分可变为.1222)1(2)1(2)1()1(212111211123422222222222uuuuduuuuuduuuduuuuuuuI以上有理函数的积分,要求出开相当困难,如果改用组合积分法将能很快地求出.令,cossin1sindxxxxJ则有2)cos(sin3)cos(sin2cossin22)cos(sin2cossin1cossinxxxxdxxxxddxxxxxJI,cossin3cossin3ln31xxxx,)cos(sin1)cos(sin2cossin22)cos(sin2cossin1sincos2xxxxdxxxxddxxxxxJI).cosarctan(sin2xx所以6CxxxxxxJCxxxxxxI)]cosarctan(sin2cossin3cossin3ln31[21.)]cosarctan(sin2cossin3cossin3ln31[21还有许多含有asecx+btanx、acscx+bcotx、b+atanx、atanx+bcotx等形式的积分可化为以上类型进行积分计算2指数函数有理式的积分指数函数xe与xa具有自导性,xe与xe、xa与xa的代数和具有互导性,这就为凑微分提供条件,这里主要用到以下的凑微分公式：),()(xxxxeedee),()(xxxxeedee一般的指数函数xa与)1,0(aaax也有类似的凑微分公式：),(ln1)(xxxxaadaaa),(ln1)(xxxxaadaaa这就为使用组合积分法提供了保证.２.１有nxxbeae)(积分.对于分母nxxbeae)(的指数函数有理式的积分,也和三角函数有理式的积分一样,可以考虑使用组合积分法求解.证明两个递推公式定理1设nxxnbeaedxJ)(,)0,1(abn则],)()2[()1(4112nxxxxnnbeaebeaeJnnabJ证因为1)()()(nxxxxnxxnbeaebeaedbeaedxJdxbeaebeaenbeaebeaenxxxxnxxxx221)()()1()(nnxxxxxxnxxxxJndxbeaeaeaebeaenbeaebeae)1()()()()1()(22217nnxxnxxxxJndxbeaeabdxnbeaebeae)1()(4)1()(21所以有12)()1(4nxxxxnnbeaebeaeJnabnJ用n-2代替上式中的n,得12)()1(4)2(nxxxxnnbeaebeaeJnabJn故得递推公式])()2[()1(4112nxxxxnnbeaebeaeJnnabJ定理2设nxxnbeaedxJ)(,abbaabBababbaA2,21111则).0,,1(,)(11)(1111abNnnbeaenBAJdxbeaeebeaInxxnnxxxx证令,)(,)(21nxxxnxxxbeeadxeIbeaedxeI则有,121nJbIaI.)(111)()()(121nxxnxxxxnxxxxbeaenbeaebeaeddxbeaebeaebIaI所以],1)(111[2111nbeaenJaIxxn].1)(111[2112nbeaenJbIxxn于是有1111112111)(12112nxxnbeaeabbaabnJababbaIbIaI11)(11nxxnbeaenBAJ这两个定理主要是给出用组合积分法求解此类积分问题的解题思路.２.２含有nxxqapa)(的积分用组合积分法证明下列递推公式给出解题思路.8定理1设n为正整数,且0,1pqn,并另nxxnq