线性方程组详解

2020/3/211线性代数LinearAlgebra第2章线性方程组2020/3/212第2章线性方程组再次讨论线性方程组的求解问题，在第一章的讨论中，Cramer法则针对未知量与方程个数一样的情形，将行列式作为工具，给出了方程组解存在且唯一的条件及解的行列式表示.但有其局限性：1、行列式的计算量大；2、系数行列式如何？0D3、未知量与方程个数不一样的情形无法处理.不能用行列式来描述2020/3/213Example1第2章线性方程组ABCD500350150如图所示是某城市某区域单行道路网.据统计进入交叉路口A每小时车流量为500辆，而从路口B和C出来的车辆分别为每小时350辆和150辆.如图所示，Solution:设沿这些道路每小时车流量分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6.x1x5x2x3x4x6求出沿每一个道路每小时的车流量.鉴于出入每一个路口的车流量是相等的，于是有路口A500=x1+x2+x3路口Bx1+x4+x6=350路口Cx3+x5=x6+150路口Dx2=x4+x5得线性方程组1231463562455003501500xxxxxxxxxxxx一个可控的网络系统中，计算平衡运行问题，可归结为求解线性方程组2020/3/214§1消元法线性方程组的一般形式为11112211211222221122(2.1).........................nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb可以把未知量的系数和常数项按其原来的相对位置排成一个矩形的数表，来表示该方程组.111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa11121121222212nnmmmnmaaabaaabBaaab系数矩阵增广矩阵矩阵与行列式一样是从研究线性方程组的问题引出的，(由Cramer法则知：方程组的解与系数、自由项有关)2020/3/215第2章线性方程组Definition2.1由个数mn(11)ijaimjn，排成m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称矩阵。mnNote:1、前行后列；2、与行列式的区别mn这个数称为矩阵A的元素，称为矩阵A的第i行、第j列元素。（实矩阵、复矩阵）ija简记()()ijmnijAaorAa如果两个矩阵的行数相等，列数也相等，则称它们是同型矩阵。111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa2020/3/216§1消元法如果与是同型矩阵，且则称矩阵A与B相等，记为A=B()ijAa()ijBbijijab(11)imjn，相等的必要条件是同型常见的特殊矩阵：1、行矩阵只有一行的矩阵12nAaaa2、列矩阵只有一列的矩阵12mbbBb3、零矩阵元素都为零的矩阵111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa4、方阵若m=n，则称为n阶矩阵，也称n阶方阵。在n阶方阵中，从左上角到右下角的连线称为主对角线（对角线）。()ijnnAa2020/3/217第2章线性方程组5、上三角形矩阵（上三角阵）在n阶方阵中，若主对角线左下方所有元素全为零(即rik=0其中ik)即11121222000nnnnrrrrrRr11212212000nnnnlllLlll6、下三角形矩阵（下三角阵）在n阶方阵中，若主对角线右上方所有元素全为零(即lik=0其中ik)7、对角阵除对角线上元素外其他元素全为零的n阶方阵。12n12ndiag2020/3/218§1消元法8、数量矩阵12n成立的对角阵Sdiag9、单位矩阵1的数量矩阵记作En简记E100010001nENote:5~9概念的前提是方阵。矩阵表示举例：Example1婚姻问题(matchingproblem)女儿追求者ABCEDF327151042628如何嫁娶，使获得的礼品最多？7DEF2020/3/219Example2织物组织的表示1、平纹0110（表示经线在上）2、斜纹00101010012斜纹3、缎纹00100000010100000010100005枚纬面缎纹第2章线性方程组2020/3/2110Example3（赢得矩阵）（这是对策论的问题）我国古代有“齐王赛马”的事例，战国时代齐王与其大将田忌赛马，双方约定各出上、中、下3个等级的马各一匹进行比赛，共赛马3次，每次比赛的败者付给胜者千金。已知在同一等级的比赛中，齐王之马可稳操胜券，但田忌的上、中等级的马分别可胜齐王的中、下等级的马。齐王与田忌在排列赛马出场顺序时，各可取下列6种策略之一：1(上、中、下)2(中、上、下)3(下、中、上)4(上、下、中)5(中、下、上)6(下、上、中)则可得齐王的赢得矩阵：3111113113131313田忌策略1111齐1111王1111策1111略1111Goon§1消元法2020/3/2111对策论的例对策也称博弈（Game）,是自古以来的政治家、军事家（现在更多的是经济学家）关注研究的问题。作为一门学科是20世纪40年代形成并发展起来的。1944年冯.诺依曼(VonNeumann)与摩根斯特(O.Morgenstern)合作出版了《博弈论与经济行为》一书，标志着现代系统博弈理论的初步形成。20世纪50年代，纳什(Nash)建立了非合作博弈的“纳什均衡”理论，标志着博弈的新时代开始，是纳什在经济博弈论领域划时代的贡献，是继冯.诺依曼之后最伟大的博弈论大师之一。1994年纳什获得了诺贝尔经济学奖。对策论——研究冲突对抗条件下最优决策问题的理论2020/3/2112对策论的例囚犯的两难处境坦白抵赖坦白5，50.5，20抵赖20，0.51，1一位富翁在家中被杀，财物被盗。警方抓到两个犯罪嫌疑人，并从他们的住处搜出被害人家中丢失的财物。但是，他们矢口否认曾杀过人，辩称是先发现富翁被杀，然后只是顺手牵羊偷了点儿东西。于是警方将两人隔离，分别关在不同的房间进行审讯。由地方检察官分别和每个人单独谈话。检察官给出了上表的政策，囚犯该怎么办呢？他们面临着两难的选择——坦白或抵赖。结果：两人都选择了坦白，各被判刑5年。这个结局被称为“纳什均衡”也称非合作均衡。2020/3/2113对策论的例“纳什均衡”对亚当·斯密的“看不见的手”的原理提出挑战。按照斯密的理论，在市场经济中，每一个人都从利己的目的出发，而最终全社会达到利他的效果。从“纳什均衡”我们引出了“看不见的手”的原理的一个悖论：从利己目的出发，结果损人不利己，既不利己也不利他。“纳什均衡”提出的悖论实际上动摇了西方经济学的基石.2020/3/2114Example4图的矩阵表示0110101010010110abcdabAcd邻接矩阵abcd第2章线性方程组Example5求解线性方程组123412341234123422244622436979xxxxxxxxxxxxxxxx1、是否有解？2、如果有解。无穷多解？唯一解？0A？2020/3/2115Solution：（消去法化简）123412341234123422244622436979xxxxxxxxxxxxxxxx①②③④1234123412341234242223236979xxxxxxxxxxxxxxxx①②③④①②③÷212342342342342433655363343xxxxxxxxxxxxx①②③④②-2①③-2①④-3①③+2④②③1234234234234245123363343xxxxxxxxxxxxx④+③③+3②12342344424512144239xxxxxxxxx③÷14④-3③1234234424512300xxxxxxxx结论：该方程组有解，且有无穷多解。若④为0=C0则无解同解变换：1、交换方程次序；2、用一个非零数乘某个方程；3、将一个方程的k倍加到另一个方程上。②-5③①-③123234273300xxxxxx①-②1323443300xxxxx§1消元法自由未知量3123441431310303xkxkxkxkxkx令得2020/3/2116显然线性方程组123412341234123422244622436979xxxxxxxxxxxxxxxx则上述变换实际上只对方程组的系数和常数进行运算,所以，上述变换完全可以转换为对矩阵B的变换.第2章线性方程组21112112144622436979BAb可用增广矩阵表示.2020/3/2117Definition2.2设A是m×n矩阵，下面三种变换称为矩阵的初等行变换：（1）交换A的第i行和第j行的位置，记为；ijrr（2）用非零常数k乘以A的第i行各元素，记为;ikr（3）将A的第i行各元素的k倍加到第j行对应元素，记为.jirkr注意记号把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义行row列column“r”换成“c”矩阵的初等行（列）变换统称为矩阵的初等变换§1消元法2020/3/2118称为行阶梯形矩阵看前例的求解过程:121112112141121401151246224000133697900000rBB行阶梯形矩阵:如果矩阵中全为零的行在矩阵的下方,且非零行的第一个非零元素的列标随行标的递增而严格增加1210104011030001300000rBB称为行最简形矩阵行最简形矩阵:如果矩阵是一行阶梯形矩阵,且非零行的第一个非零元素为1,这些非零元素所在列的其他元素都为零第2章线性方程组方程组是否有解由此判断由此求解方程组2020/3/2119§1消元法Theorem2.1任一m×n非零矩阵A=(aij)必可通过初等行变换化为行最简形.进一步利用初等列变换可得:231010410000011030100000001300100000000000000rCEBB称为矩阵B的(等价)标准形Theorem2.2任一m×n非零矩阵A=(aij)必可通过初等变换化为标准形.r=?矩阵的秩proof2020/3/2120第2章线性方程组Theorem2.2的证明Proof:0AA由则可通过第一种初等变换将变换成位110a于第一行第一列的元素不为零的矩阵。故不妨假设A对施以初等变换如下：11112121222121nnrammmnbbaaaAaaa11(2,,)iirarim1212222100nnmmnbbbbbb11(2,,)jjcbcj