高等数学中值定理的题型与解题方法

高等数学中值定理的题型与解题方法高数中值定理包含：1.罗尔中值定理(rolle);2.拉格朗日中值定理(lagrange);3.柯西中值定理(cauchy);还有经常用到的泰勒展开式(taylor),其中(,)ab，一定是开区间.全国考研的学生都害怕中值定理，看到题目的求解过程看得懂，但是自己不会做，这里往往是在构造函数不会处理，这里给总结一下中值定理所涵盖的题型，保证拿到题目就会做。题型一：证明：()0nf基本思路，首先考虑的就是罗尔定理(rolle)，还要考虑极值的问题。例1.()[,]fxCab在(,)ab可导，()()0fafb，()()02abfaf，证明：存在(,)ab，使得'()0f.分析：由()()0fafb，()()02abfaf，容易想到零点定理。证明：()()02abfaf，存在1(,)2abxa，使得1()0fx，又()()0fafb，(),()fafb同号，()()02abfbf，存在2(,)2abxb，使得2()0fx，12()()0fxfx，所以根据罗尔中值定理：存在(,)ab，使得'()0f.例2.()[0,3]fxC在(0,3)内可导，(0)(1)(2)3fff，(3)1f，证明：存在(0,3)，使得'()0f证明：（1）()[0,3]fxC，()fx在[0,3]使得上有最大值和最小值,Mm，根据介值性定理(0)(1)(2)3fffmM，即1mM存在[0,3]c，使得()1fc，（2）()(3)1fcf，所以根据罗尔中值定理：存在(,3)(0,3)c，使得'()0f.例3.()fx在(0,3)三阶可导，[0,1]x，(1)0f，3()()Fxxfx证明：存在(0,1)，使得'''()0F证明：（1）(0)(1)0FF，存在1(0,1)，使得1'()0F，（2）23'()3()'()Fxxfxxfx，所以1'(0)'()0FF，存在21(0,)，使得2''()0F，（3）223''()6()3'()3'()''()Fxxfxxfxxfxxfx，所以2''(0)''()0FF，存在2(0,)(0,1)，使得'''()0F，例3.()[0,1]fxC在(0,1)内可导，[0,1]x，(0)1f，11()22f，(1)2f证明：存在(0,1)，使得'()0f证明：(0)1f，11()22f，(1)2f存在(0,1)，使得()fm，又()fx在(0,1)内可导，存在(0,1)，使得'()0f题型二：证明：含，无其它字母基本思路，有三种方法：（1）还原法。''()[ln()]()fxfxfx能够化成这种形式例1.()[0,1]fxC在(0,1)可导，(1)0f，证明：存在(0,1)，使得'()3()0ff.分析：由3'()3'()3()00[ln()]'(ln)'0()fxxfxfxfxxfxx，3[ln()]'0xfx证明：令3()()xxfx，(0)(1)1存在(0,1)，使得'()0，而23'()3()'()0ff存在(0,1)，使得'()3()0ff例2.()[,]fxCab在(,)ab可导，()()0fafb，证明：存在(,)ab，使得'()2()0ff.分析：由2'()'()2()020[ln()]'(ln)'0()xfxfxfxfxefx，2[ln()]'0xfxe证明：令2()()xxfxe，()()0fafb，()()0ab存在(,)ab，使得'()0，而222'()2()'()[2()'()]0xxxxfxefxeefxfx2[2()'()]0eff即存在(,)ab，使得'()2()0ff例3.()fx在[0,1]上二阶可导，(0)(1)ff，证明：存在(0,1)，使得2'()''()1ff.分析：由22'()''()2''()0[ln'()]'[ln(1)]'01'()1fxfxfxfxxxfxx，2[ln'()(1)]'0fxx证明：令2()'()(1)xfxx，(0)(1)(0,1)ffc，使得'()0fc，所以2()'()(1)0cfcc，又因为(1)0()(1)0c由罗尔定理知，存在(0,1)，使得2'()''()1ff.记：①'()()kxfkfxefx②'()()kfkfxxfx（2）分组构造法。①''()()ff''()()0''()'()'()()0fxfxfxfxfxfx['()()]'['()()]0[]'[]0fxfxfxfxgg'10(ln)'(ln)'0()['()()]xxggexefxfxg②''()()10ff（还原法行不通）'['()1]'['()1]0'0()[()1]xfxfxggxefx例1.()[0,1]fxC，在(0,1)内可导，11(0)0,()1,(1)22fff，证明：①存在(0,1)c，使得()fcc，②存在(0,1)c，使得'()2[()]1ff.证明：①令()()xfxx，111(0)0,(),(1)2221()(1)02，1(,1)(0,1)2c使得()0c，即()fcc②（分析）'()2[()]1[()]'2[()]0fxfxxfxxfxx令2()[()]xhxefxx，(0)()0hhc存在(0,1)c，使得'()2[()]1ff.题型三：证明：含,.分几种情形：情形1：结论中只有'(),'()()ff找三句次Lagrange点两话两例1.()[0,1]fxC，在(0,1)内可导，(0)0,(1)1ff，证明：①存在(0,1)c，使得()1fcc，②存在,(0,1)，使得'()'()1ff.证明：①令()()1xfxx，(0)1,(1)1(0)(1)0(0,1)c使得()1fcc②(0,),(,1)cc,使得()(0)1'()fcfcfcc(1)()'()11ffccfcc，所以存在,(0,1)，使得'()'()1ff例2.()[0,1]fxC，在(0,1)内可导，(0)0,(1)1ff，证明：①存在(0,1)c，使得1()2fc，②存在,(0,1)，使得112'()'()ff.证明：①令1()()2xfx，11(0),(1)22，(0)(1)0(0,1)c，使得1()2fc②(0,),(,1)cc,使得()(0)1'()2fcffcc，(1)()1'()12(1)ffcfcc，所以存在,(0,1)，使得112'()'()ff情形2：结论中含有,，但是两者复杂度不同。2222[()2()][()]'()'()'()()'()11()'ffffffx1).留复某函的句2).哪函的看不出1).的情用拉格朗日中值定理2).的情用柯西中值定理杂ee个数导数两话个数导数来时况况例1.()[,]fxCab，在(,)(0)aba内可导证明：存在,(,)ab，使得'()'()()2ffab.证明：①令2()Fxx，'()20Fxx由柯西中值定理(,)ab使得22()()'()2fbfafba，所以()()'()()2fbfafabba(,)ab使得()()'()fbfafba，得证。例2.()[,]fxCab，在(,)(0)aba内可导证明：存在,(,)ab，使得2'()'()abff.证明：①令1()Fxx，21'()0Fxx由柯西中值定理(,)ab使得2()()'()111fbfafba，所以2()()'()fbfaabfba(,)ab使得()()'()fbfafba，得证。例3.()[,]fxCab，在(,)ab内可导,()()1fafb证明：存在,(,)ab，使得['()()]1eff.(分析：“留复杂”['()()]eff)证明：①令()()xxefx，由拉格朗日中值定理(,)ab使得()()['()()]baefbefaeffba，()()()()1,['()()]babaefbefaeefafbeffbaba['()()],(,)baeeeeffabba，即['()()]1eff.题型四：证明：拉格朗日中值定理的两惯性思维。()fx可导①()()'()fbfafba②见到3点两次使用拉格朗日中值定理。例1.lim'()xfxe，且lim[()(1)]lim(),xxxxcfxfxxc则c解：()(1)'()(1)fxfxfxx，lim'()xfxe.又因为2lim2222lim()lim[(1)]xxccxxxcccxcxcxxxcceexcxc12c例2.'()0,''()0fxfx，且000'(),()(),0dyfxxyfxxfxx，则,,0dyy的大小关系。解：由拉格朗日中值定理知000'(),()yfxxxxx，''()0,'()fxfx单调递增又00,'()'()xfxf又因为00,'()'(),0xfxxfxdyy例3.()fx在(,)ab内可导，且'()fxM，()fx在(,)ab内至少有一个零点。证明：()()()fafbMba证明：1）因为()fx在(,)ab内至少有一个零点，所以(,),()0cabfc2）下边用两次拉格朗日中值定理11()()'()(),(,)fcfafcaac，22()()'()(),(,)fbfcfbccb所以11()'()(),(,)fafcaac22()'()(),(,)fbfbccb'()fxM，1()(),(,)faMcaac2()(),(,)fbMbccb，()()()fafbMba例4.()fx在(,)ab内二阶可导，有一条曲线()yfx，如图证明：(,)ab，使得''()0f证明：1）12(,),(,)accb使得12()()()()'(),'()fcfafbfcffcabc因为,,ACB共线，所以12'()'()ff，所以由罗尔定理知12(,)(,)ab，使得''()0f11()()'()(),(,)fcfafcaac题型五：Taylor公式的常规证明。()(1)1000000()()()()'()()()()!(1)!nnnnfxffxfxfxxxxxxxnn00'(),fcxcx中端点点()('()),fcfcxcx端中任一无点点点例1