不等式的基本性质

第二章不等式课题：2.1-不等式的基本性质(2课时)教学目标：1.掌握作差比较大小的方法，并能证明一些不等式。2.掌握不等式的性质，掌握它们的证明方法及其功能，能简单运用。3.提高逻辑推理和分类讨论的能力；培养条理思维的习惯和认真严谨的学习态度。教学重点：作差比较大小的方法；不等式的性质。教学难点：不等式的性质的运用教学过程：第1课时：问题情境：现有A、B、C、D四个长方体容器，A、B容器的底面积为a2，高分别为a、b，C、D容器的底面积为b2，高分别为a、b，其中a≠b。甲先从四个容器中取两个容器盛水，乙用剩下的两个容器盛水。问如果你是甲，是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多？分析：依题意可知：A、B、C、D四个容器的容积分别为a3、a2b、ab2、b3，甲有6种取法。问题可以转化为比较容器两两和的大小。研究比较大小的依据：我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的。在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。在右图中，点A表示实数a，点B表示实数b，点A在点B右边，那么a＞b。而a－b表示a减去b所得的差，由于a＞b，则差是一个正数，即a－b＞0。命题：“若a＞b，则a－b＞0”成立；逆命题“若a－b＞0，则a＞b”也正确。类似地：若a＜b，则a－b＜0；若a＝b，则a－b＝0。逆命题也都正确。结论：(1)“a＞b”⇔“a－b＞0”(2)“a＝b”⇔“a－b＝0”(3)“a＜b”⇔“a－b＜0”——以上三条即为比较大小的依据：“作差比较法”。正负数运算性质：(1)正数加正数是正数；(2)正数乘正数是正数；(3)正数乘负数是负数；(4)负数乘负数是正数。研究不等式的性质：性质1：若a＞b，b＞c，则a＞c(不等式的传递性)证明：∵a＞b∴a－b＞0∵b＞c∴b－c＞0∴(a－b)＋(b－c)＝a－c＞0(正负数运算性质)则a＞c反思：证明要求步步有据。性质2：若a＞b，则a＋c＞b＋c(不等式的加法性质)ABx第二章不等式证明：∵a＞b∴a－b＞0∵(a＋c)－(b＋c)＝a－b＞0∴a＋c＞b＋c反思：作差比较法的第一次运用，虽然简单，也要让学生好好体会体会。思考：逆命题“若a＋c＞b＋c，则a＞b”成立吗？——两边加“－c”即可证明。[例1]求证：若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d(同向不等式相加性质)证明1：∵a＞b∴a＋c＞b＋c(性质2)∵c＞d∴b＋c＞b＋d(性质2)则a＋c＞b＋d(性质1)证明2：∵a＞b∴a－b＞0∵c＞d∴c－d＞0∴(a－b)＋(c－d)＞0即(a＋c)－(b＋d)＞0(作差比较法)则a＋c＞b＋d反思：你更喜欢哪种方法？为什么？(精彩回答：我都喜欢，如同自己的一对双胞胎。)练习：求证：若a＞b，c＜d，则a－c＞b－d(异向不等式相减性质)——作业证明1：∵c＜d∴c－d＜0得d－c＞0即－c＞－d(正数得相反数为负数)亦可由c＜d两边同加－(c＋d)，直接推出－c＞－d(性质2)∵a＞b∴a＋(－c)＞b＋(－d)(同向不等式相加性质)则a－c＞b－d(加减法运算法则)证明2：∵a＞b∴a－b＞0∵c＜d∴d－c＞0∴(a－c)－(b－d)＝(a－b)＋(d－c)＞0(作差比较法)则a－c＞b－d性质3：若a＞b，c＞0，则ac＞bc若a＞b，c＜0，则ac＜bc(不等式的乘法性质)证明：ac－bc＝(a－b)c(作差比较法)∵a＞b∴a－b＞0(1)当c＞0时，(a－b)c＞0，得ac＞bc(正负数运算性质)(2)当c＜0时，(a－b)c＜0，得ac＜bc(正负数运算性质)反思：等式两边同乘一个数，等式永远成立。但不等式的情况完全不同！——强调！思考：(1)“若a＞b，则ac2＞bc2”成立吗？——不成立！反例：c＝0时不成立。(2)“若ac2＞bc2，则a＞b”成立吗？——成立！隐含c2＞0。练习：(1)《教材》P.30-练习2.1(1)-1(学生口答，教师点评)(2)《教材》P.30-练习2.1(1)-2、3(学生板书，教师点评)第二章不等式2、求证：若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd(同向不等式相乘性质)证明：∵a＞b，c＞0∴ac＞bc(性质3)∵c＞d，b＞0∴bc＞bd(性质3)则ac＞bd(性质1)特例：当a＝c且b＝d时，有“若a＞b＞0，则a2＞b2”推而广之：若a＞b＞0，则an＞bn(n∈N*)(不等式的乘方性质)推而广之：若a＞b＞0，则na＞nb(n∈N*，n＞1)(不等式的开方性质)——可用反证法进行证明。3、求证：若a＞b＞0，则0＜1a＜1b(不等式的倒数性质)——作业证明：∵a＞b＞0∴1a＞0，1b＞0，a－b＞0∴1b－1a＝abab－＞0(正负数运算性质)则0＜1a＜1b[例2]比较(a＋1)2与a2－a＋1的值的大小。解：(a＋1)2－(a2－a＋1)＝3a(1)当a＜0时，(a＋1)2＜a2－a＋1(2)当a＝0时，(a＋1)2＝a2－a＋1(3)当a＞0时，(a＋1)2＞a2－a＋1反思：(1)比较大小时，等与不等一定要分开讨论！——强调！(2)分类讨论时，要做到“不遗漏，不重复”！——强调！[例3]解关于x的不等式m(x＋2)＞x＋m。解：(m－1)x＞－m(1)当m＝1时，x∈R(2)当m＜1时，x＜－mm1－；(3)当m＞1时，x＞－mm1－反思：(1)引起讨论的原因是什么？——m－1值的不确定性(2)如何进行讨论？——不等式性质课堂小结：(1)数学知识：8条不等式性质(教材P.31)(2)数学方法：作差比较法(3)数学思想：分类讨论第1课时作业：《练习册》P.13-习题2.1-A、B组(做在练习册上)第二章不等式第2课时：讲评作业或者做《教材》P.30-练习2.1(2)-1(学生口答，教师点评)[例1]解关于x的不等式：(m2－4)x＜m＋2。解：(1)m2－4＝0即m＝－2或m＝2①当m＝－2时，x∈②当m＝2时，x∈R(2)m2－4＞0即m＜－2或m＞2时，x＜1m2－(3)m2－4＜0即－2＜m＜2时，x＞1m2－反思：(1)引起讨论的原因是什么？——m2－4值的不确定性(2)如何进行讨论？——不等式性质[例2]若m＞0，y＞x＞0，试比较xmym＋＋与xy的大小。解：xmym＋＋－xy＝(xm)y(ym)x(ym)y＋－＋＋＝m(yx)(ym)y－＋∵y＞x∴y－x＞0∵y＞0，m＞0∴y＋m＞0又∵y＞0，m＞0∴m(yx)(ym)y－＋＞0则xmym＋＋＞xy引申：若a、b、c、d均为正数，且ab＜cd，求证：ab＜acbd＋＋＜cd证明1：(作差比较法)acbd＋＋－ab＝bcad(bd)b－＋∵ab＜cd，b＞0，d＞0∴bc＞ad得bcad(bd)b－＋＞0则acbd＋＋＞ab同理可证：acbd＋＋＜cd证明2：(变更论证法)∵b＞0，b＋d＞0∴ab＜acbd＋＋a(b＋d)＜b(a＋c)a(b＋d)－b(a＋c)＝ad－bc∵ab＜cd，b＞0，d＞0∴ad＜bc得a(b＋d)＜b(a＋c)则ab＜acbd＋＋同理可证：acbd＋＋＜cd第二章不等式[例3]若x＞0，试比较x＋x3＋与x1＋＋x2＋的大小。分析：直接作差显然不可取。可考虑去根号，利用不等式的乘方、开方性质。解：(x＋x3＋)2＝2x＋3＋22x3x＋，(x1＋＋x2＋)2＝2x＋3＋22x3x＋＋1∵2x3x＋＜2x3x＋＋1∴2x＋3＋22x3x＋＜2x＋3＋22x3x＋＋1得(x＋x3＋)2＜(x1＋＋x2＋)2则x＋x3＋＜x1＋＋x2＋反思：“分析法”是寻找解题思路的常用方法。[例4]甲、乙两人连续两天去市场买青菜。甲每次买青菜的数量不变，乙每次买青菜的费用不变。问甲、乙两人谁购买的方法比较合算？分析：何为合算？——平均单价便宜。解：设第一天青菜单价a元/斤，第一天青菜单价b元/斤。设甲每次买青菜x斤，乙每次买青菜花费y元，∴甲平均单价为axbx2x＋＝ab2＋，乙平均单价为2yyyab＋＝2abab＋∵ab2＋－2abab＋＝2(ab)2(ab)－＋∴(1)a＝b时，ab2＋＝2abab＋；(2)a≠b时，ab2＋＞2abab＋由(1)(2)可知：乙购买的方法比较合算。[例5](第1课时的引例)现有A、B、C、D四个长方体容器，A、B容器的底面积为a2，高分别为a、b，C、D容器的底面积为b2，高分别为a、b，其中a≠b。甲先从四个容器中取两个容器盛水，乙用剩下的两个容器盛水。问如果你是甲，是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多？分析：依题意可知：A、B、C、D四个容器的容积分别为a3、a2b、ab2、b3，甲有6种取法。问题可以转化为比较容器两两和的大小。解：(1)取A、B：(a3＋a2b)－(ab2＋b3)＝(a＋b)2(a－b)无法确定大小(2)取A、C：(a3＋ab2)－(a2b＋b3)＝(a2＋b2)(a－b)无法确定大小(3)取A、D：(a3＋b3)－(ab2＋a2b)＝(a＋b)(a－b)2由于a≠b，则(a＋b)(a－b)2＞0，即a3＋b3＞ab2＋a2b——先取A、D则必胜！能否推广？——观察a3＋b3＞ab2＋a2b的特征，进行猜测。a4＋b4＞ab3＋a3b，a4＋b4＞a2b2＋a2b2a5＋b5＞ab4＋a4b，a5＋b5＞a2b3＋a3b2……第二章不等式更为一般性的结论：a、b∈R，m、n∈N*，则am+n＋bm+n≥ambn＋anbm证明：(am＋n＋bm＋n)－(ambn＋anbm)＝(am－bm)(an－bn)≥0课堂小结：(1)数学知识：8条不等式性质(教材P.31)(2)数学方法：作差比较法、分析法、变更论证(3)数学思想：分类讨论、类比猜想证明作业：《一课一练》P.35-1～10、P.36-1～6、9、10(做在书上)选做：《一课一练》P.35-11(1)、P.36-11(做在书上)