erlang-b公式的理解

内部公开▲本文中的所有信息均为中兴通讯股份有限公司内部信息，未经允许，不得外传ErlangB公式的理解拟制覃亮学日期2005-7-22审核日期审核日期批准日期内部公开▲本文中的所有信息均为中兴通讯股份有限公司内部信息，未经允许，不得外传-i-目录1对ErlangB公式的理解.......................................................................................................4附录AErlangB公式的推导...................................................................................................6内部公开▲本文中的所有信息均为中兴通讯股份有限公司内部信息，未经允许，不得外传-ii-图目录图A-1系统状态转移图..............................................................................................................................8内部公开▲本文中的所有信息均为中兴通讯股份有限公司内部信息，未经允许，不得外传-iii-表目录表A-1各种方式发生的概率....................................................................................................................7内部公开▲本文中的所有信息均为中兴通讯股份有限公司内部信息，未经允许，不得外传第4页1对ErlangB公式的理解问;用ErlangB计算出的话务量，它的具体含义是什么？为什么提供35个信道，有时却可以提供超过35个Erlang的话务量。答：首先，应用ErlangB表计算话务量是有前提条件的，它基于一下两个假设：1用户数远远大于提供的信道数，相对于信道数来说，可以认为用户数是无穷大。2用户如果被阻塞后不重新发起呼叫。基于这两点假设，可以认为：用户的呼叫到达服从泊松分布，在某一时刻同时有k个用户通话的概率为：Niikkikp0!/)/(!/)/(其中为单位时间内平均到达的呼叫次数，T/1，T为呼叫平均持续时长（注：有的书把叫做平均离开率，个人认为是不太确切的说法，因为平均离开率和平均到达率只相差被阻塞的那部分用户，而实际计算时阻塞率很小，平均离开率和平均到达率的比值应该接近于1；所以还是应该直接理解为平均持续时长的倒数为好）；N为提供的信道数。当所有的信道都被占用的时候，认为系统阻塞，而所有的信道都被占用的概率为：NiiNNiNpB0!/)/(!/)/(上式就是ErlangB公式，TA/即为我们所求的，它表示平均的话务量（注：此处实际是话物流量，在不引起误会的情况，所说的话务量即为话务流量），需要注意的是：在这里是平均到达率，它没有区分到达的用户是被服务还是被拒绝，所以ErlangB公式计算出来的话务量/A即包括两部分：被服务的用户呼叫的话务量（实际的话务量）和被阻塞的用户呼叫的话务量。而被阻塞的用户是不产生实际的话务量的，在这里事先已经求出了每次用户呼叫的平均持续时长T，即每次用户呼叫的平均话务量已经求出来了，再把被阻塞的用户呼叫折算成话务量。正是因为把被阻塞的用户呼叫折算成了话务量，当阻塞率比较大时，话务量就有可能大于提供的信道数。实际的话务量（被服务的用户呼叫产生的话务量）可以用下式计算：内部公开▲本文中的所有信息均为中兴通讯股份有限公司内部信息，未经允许，不得外传第5页)1(!!!!}{010000BAiAkAAiAkAkkpkEANiiNkkNiiNkkNkkA为N条信道实际提供的话务量，它永远不可能大于信道数N。而被阻塞的用户呼叫折算的话务量是：AB。我们可以把A叫做有需求的话务量。问：根据话务量的定义，话务量是单位时间内通话次数和通话时长的乘积，既然用户被阻塞了，那他的通话时长为0，即使算上被阻塞的用户的话务量，它也不可能大于信道数啊？答：在我们算话务量的时候，已经先对单位时间内到达的用户呼叫数和每次呼叫的时长求了平均，即每次用户呼叫的平均话务量已经求出来了，所以即使用户呼叫被阻塞了，根据阻塞的用户呼叫次数也可以折算出话务量的，所以才说用ErlangB公式算出来的是有需求的话务量，也可以说是应该被服务的话务量。打个比方：某投资商想在S市建个酒店，他想预算他的潜在收益是多少时，他是跟据S市平均每人每次的消费额和客流量（想来吃饭的人数）来计算，没有区分日后某时由于酒店客满导致顾客流失而损失的收益。问：在2％阻塞率下35个信道数提供26.4个Erlang的话务量，即只有26.4个用户能同时打电话，既然只能让26.4个用户通话，比信道数还少，怎么还会有2％的阻塞？答：使用ErlangB公式计算有一个前提，即用户数远远大于提供的信道数，既然用户数大于信道数，就会有碰撞的可能，也就会有阻塞发生。在某一时间段信道全被占满，而在另一时间段信道部分或全部空闲，26.4个Erlang话务量是个统计的平均值。并不代表只有26.4个用户在打电话。问：话务量A是用户呼叫平均到达率和用户呼叫平均持续时长的乘积，它跟提供的信道数并没有什么关系啊，而且在用ErlangB公式时并不需要知道户呼叫平均到达率和用户呼叫平均持续时长啊，话务量和信道数之间到底是什么关系？答：可以说话务量和提供的信道数之间没有什么关系。只不过是阻塞率与话务量和提供的信道数都有关系。内部公开▲本文中的所有信息均为中兴通讯股份有限公司内部信息，未经允许，不得外传第6页附录AErlangB公式的推导首先，作如下两点假设：1.用户数远远大于提供的信道数，即在单位时间内平均到达答用户呼叫次数与当前正在通话的用户数无关。2.用户呼叫被阻塞之后不重新发起呼叫。基于以上两点假设，语音业务用户呼叫到达服从泊松分布，设在单位时间内平均用户呼叫次数为λ，则在t时间内有k个用户呼叫到达的概率为：λΔtek!kt)(λkP每一次通话的持续时间服从指数分布，平均持续时长为T秒，设1/T，所以其离开的分布也是泊松分布，在t时间内有k个用户离开的概率为：Δtek!k)(kPt当t足够小时，认为有两个或是两个以上的用户到达（离开）的概率为零。即有两个或两个以上用户同时到达（离开）是不可能事件。定义以下参数：n：系统状态为n时，用户进入系统的平均速度。n：系统状态为n时，用户离开系统的平均速度。)(tpn：:t时刻，系统内有n个用户的概率。当t极小时，在（t，tt）时间内有一个用户到达的概率为：tλn，没有用户到达的概率为：tλ1n。同理，在（t，tt）时间内有一个用户离开的概率为：tn没有用户离开的概率为：t1n。在（t，t+t）内发生的事及其概率如下表所示：内部公开▲本文中的所有信息均为中兴通讯股份有限公司内部信息，未经允许，不得外传第7页表A-1各种方式发生的概率方式t时刻状态概率（t，t+t）内发生的事发生的概率t+t时刻状态1n)(nPt无到达无离去（t1n）*（t1n）n2n+1)(1nPt无到达离去一个（t11n）*t1nn3n-1)(1-Pnt到达一个无离去t1n*(t11n)n4n)(nPt到达一个离去一个tn*tnn方式1，2，3，4是互不相容且完备的，所以有：tt)(tt)1)((t)1t()(t)1t)(1)(()(111111nnnnnnnnnnnnntptptptpttp11n11-nnnn0tn(t)P(t)P)(t)(Pt(t)/P-t)(t(Plim(t)/dtdpnnnn（注：上式中忽略了2t)(项）当n=0时，只有方式1和3，4发生，且方式1中无离去的概率为1，则，00110(t)P(t)P(t)/dtdp假设系统稳定，(t)pn与具体的时刻t无关，所以0(t)/dtdpn，有：0(t)P(t)P00110(t)P(t)P)(t)(P11n11-nnnnnn由上式，可以得出：1100PP1001/PP0PP)(P22001110PP)(P2211111)/(P/PP211002112内部公开▲本文中的所有信息均为中兴通讯股份有限公司内部信息，未经允许，不得外传第8页)/(P/PP110011-nnnjjniinn又知1np，所以有：1/(P...)/(P/PP1100211001000njjnii当提供N个信道时，有如下状态转移图：图A-1系统状态转移图根据上面的状态转移图，稳态时概率应当满足如下关系式：)/(PP1-nnn于是有：0nnP)(!1Pn又知1np，所以有：Nnn00n1P)(!1Nnn01-n0])(!1[PNkkn0knn)(!1)(!1P推导完毕。N2CC-1λλλλλμ2μNμ（N－1）μ012N-1N