导数恒成立-能成立问题专题讲解

1课题：与导数有关的“恒成立”，“能成立”问题学习目标：1、理解“任意”，“存在”的意义，并加以区别；2、能熟练的把与导数有关的常见“恒成立”，“能成立”问题转化为函数的最值问题；3、在解题过程中提高对“转化化归”分类讨论、函数方程等数学解题思想方法的应用能力，树立解决导数综合题的信心。基础再现：1、（2013全国卷）若函数)(xf=xaxx12在,21上是增函数，则a的取值范围是（）A0,1B,1C3,0D,32、若曲线)(xf=xaxln2存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是。3、若函数)(xf=1)2(3323xaaxx有极大值和极小值，则a的取值范围是。4、已知)(xf=x，)(xg=xaln.(1)若),0(x，总有)(xf)(xg成立，则实数a的取值范围是。(2)若2,1,21xx，总有)(1xf)(2xg成立，则实数a的取值范围是。(3)若2,1,2,121xx，使)(1xf)(2xg成立，则实数a的取值范围是。(4)若2,1,2,121xx，使)(1xf)(2xg成立，则实数a的取值范围是。(5)若2,1,2,121xx，使)(1xf)(2xg成立，则实数a的取值范围是。总结：1、导数与不等式的问题，一般都可转化为极值最值问题解决。2、区间上不等式的12种类型及其解决方法：不等式类型解决方法(1)Dx,)(xfMmin)(xfM(2)Dx，)(xf)(xgDx，0)()()(xgxfxh,0)(minxh(3)Dx,)(xfMmax)(xfM(4)Dx，)(xf)(xgDx，0)()()(xgxfxh,0)(maxxh(5)Dx,)(xfMmax)(xfM(6)Dx，)(xf)(xgDx，0)()()(xgxfxh,0)(maxxh(7)Dx,)(xfMmin)(xfM2(8)Dx，)(xf)(xgDx，0)()()(xgxfxh,0)(minxh(9)11Dx,22Dx,)(1xf)(2xgmin)(xfmax)(xg(10)11Dx,22Dx,)(1xf)(2xgmin)(xfmin)(xg(11)11Dx,22Dx,)(1xf)(2xgmax)(xfmax)(xg(12)11Dx,22Dx,)(1xf)(2xgmax)(xfmin)(xg典型例题例1、已知向量,//)),(,1(),ln,(nmxfnkxemx曲线)(xfy在点（1，)1(f）处的切线与y轴垂直，)()(xfxexFx（1）求k的值及)()(xfxexFx的单调区间和最大值（2）已知函数)(xg=axx22(0a).若x1,0求)(xg的最大值.3变式1、已知函数)(xg=axx22(0a).若对于任意2x1,0，总存在),0(1x，使得)()(12xFxg，求实数a的取值范围.变式2、已知函数)(xg=axx22(0a).求证：对于任意),0(1x，总存在2x1,0使得)(21)(12xFaxg，对,ea恒成立.4例2、已知函数)(xg=323xx如果存在2,0,21xx，使得Mxgxg)()(21成立，求满足条件的最大整数M.例3、已知函数kxekxxf2)()(（1）求)(xf的单调区间；（2）若对于任意),0(x，都有)(xfe1，求k的取值范围.5与导数有关的“恒成立”，“能成立”问题--突破练习1、已知函数xxaxfln)(在区间3,2上单调递增，则实数a的取值范围是.2、若函数xxxfln2)(2在其定义域内的一个子区间1,1kk内不是单调函数，则实数k的取值范围是.3、对2,1t，函数xxmxxg2)22()(23在区间3,t上不单调，则实数m的取值范围是.4、已知函数xaxxfln)(，，函数)(xg的导函数xexg)(，且egg)1()0(（1）求函数)(xf的极值；（2）若),0(x，使得不等式xmxxg3)(成立，试求实数m的取值范围；（3）当a=0时，对),0(x，求证：2)()(xgxf65、已知函数xxxxf3)(（1）求函数)(xf的零点个数；（2）函数xxxfaxaxxgln)()(2，若函数)(xgy在)1,0(e内有极值，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下对任意),1(t，)1,0(s求证：eesgtg12)()(76.已知函数12ln2(0)fxaxaxax.（1）当0a时，求fx的极值；（2）当0a时，讨论fx的单调性；（3）若对任意的123,2,,1,3,axx恒有12ln32ln3mafxfx成立，求实数m的取值范围.解：（1）当0a时，22121212ln,(0).xfxxfxxxxxx………1分由2210xfxx,解得12x.………………………2分∴fx在10,2上是减函数，在1,2上是增函数.………………………3分∴fx的极小值为122ln22f，无极大值.………………………4分（2）2222221121212(0)axaxaxxafxaxxxxx.……6分①当20a时，fx在10,2和1,a上是减函数，在11,2a上是增函数；………7分②当2a时，fx在0,上是减函数；………………………8分③当2a时，fx在1,2和10,a上是减函数，在11,2a上是增函数.……9分（3）当32a时，由（2）可知fx在1,3上是减函数，∴1221342ln33fxfxffaa.………………………10分由12ln32ln3mafxfx对任意的123,2,,1,3axx恒成立，∴12maxln32ln3mafxfx………………………11分即2ln32ln342ln33maaa对任意32a恒成立，即243ma对任意32a恒成立，………………………12分由于当32a时，132384339a，∴133m.………………………13分87.设()lnafxxxx，32()3gxxx．（I）当2a时，求曲线()yfx在1x处的切线方程；（II）如果存在12,[0,2]xx，使得12()()gxgxM成立，求满足上述条件的最大整数M；（III）如果对任意的1,[,2]2st，都有()()fsgt成立，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）当2a时，2()lnfxxxx，22'()ln1fxxx，(1)2f，'(1)1f，所以曲线()yfx在1x处的切线方程为3yx.……………3分（Ⅱ）存在12,[0,2]xx，使得12()()gxgxM成立等价于：12max[()()]gxgxM，考察32()3gxxx，22'()323()3gxxxxx，由上表可知：minmax285()(),()(2)1327gxggxg，12maxmaxmin112[()()]()()27gxgxgxgx，所以满足条件的最大整数4M.……………7分（Ⅲ）对任意的1,[,2]2st，都有()()fsgt成立等价于：在区间1[,2]2上，函数()fx的最小值不小于()gx的最大值，由（Ⅱ）知，在区间1[,2]2上，()gx的最大值为(2)1g.(1)1fa，下证当1a时，在区间1[,2]2上，函数()1fx恒成立.当1a且1[,2]2x时，1()lnlnafxxxxxxx，记1()lnhxxxx，21'()ln1hxxx，'(1)0h当1[,1)2x，21'()ln10hxxx；当(1,2]x，21'()ln10hxxx，所以函数1()lnhxxxx在区间1[,1)2上递减，在区间(1,2]上递增，min()(1)1hxh，即()1hx，x02(0,)3232(,2]3'()gx00()gx3递减极（最）小值8527递增9所以当1a且1[,2]2x时，()1fx成立，即对任意1,[,2]2st，都有()()fsgt.……………12分方法二：当1[,2]2x时，()ln1afxxxx恒成立等价于2lnaxxx恒成立，记2()lnhxxxx，'()12lnhxxxx，'(1)0h记()12lnmxxxx，'()32lnmxx，由于1[,2]2x，'()32ln0mxx,所以()'()12lnmxhxxxx在1[,2]2上递减，当1[,1)2x时，'()0hx，(1,2]x时，'()0hx，即函数2()lnhxxxx在区间1[,1)2上递增，在区间(1,2]上递减，所以max()(1)1hxh，所以1a.……………12分