导数中恒成立问题(最值问题)

1/11导数中恒成立问题（最值问题）恒成立问题是高考函数题中的重点问题，也是高中数学非常重要的一个模块，不管是小题，还是大题，常常以压轴题的形式出现。知识储备（我个人喜欢将参数放左边，函数放右边）先来简单的（也是最本质的）如分离变量后，()afx恒成立，则有max()afx()afx恒成立，则有min()afx（若是存在性问题，那么最大变最小，最小变最大）1.对于单变量的恒成立问题如：化简后我们分析得到，对,xab，()0fx恒成立，那么只需min()0fx,xab，使得()0fx，那么只需max()0fx2.对于双变量的恒成立问题如：化简后我们分析得到，对12,,xxab，12()()fxgx，那么只需minmax()()fxgx如：化简后我们分析得到，对1,xab，2,xcd使12()()fxgx，那么只需minmin()()fxgx如：化简后我们分析得到，1,xab，2,xcd使12()()fxgx，那么只需maxmin()()fxgx还有一些情况了，这里不一一列举，总之一句话（双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理一个变量，再处理另一个变量）3.对于带绝对值的恒成立问题，我们往往先根据函数的单调性，去掉绝对值，再转变成恒成立问题（2014.03苏锡常镇一模那题特别典型）今天呢，我会花很多时间来讲解一道二次函数，因为二次函数是最本质的，（甚至我提出这样一个观点，所有导数的题目95%归根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论，3%是axb与3axb这种形式根的讨论，2%是观察法得到零点，零点通常是11,,ee之类），所以如果我们真正弄清楚了二次函数，那么对于千变万化的导数题，我们还会畏惧吗。那么我们先从一道练习题说起一．二次函数型（通常方法是讨论对称轴，根据图像求最值）例题1.已知22()21xaxafx定义域为R，求a的取值范围思考：①引入定义域（非R）②参数在二次项，就需考虑是否为0③引入高次（3次，4次，1x，lnx，xe等等）④引入2a，3a等项（导致不能分离变量）2/11方法：1.一次函数，二次函数直接根据图像讨论最值(二次函数也可以分离变量)2.对于高次或者特殊函数，一般分离变量求最值（分离变量后对函数求导，确定导函数的正负情况，确定单调性，从而确定在已知定义域上的最值）3.对于不能分离变量的，只能直接求导，对参数讨论，从而确定单调性，确定最值变式：①已知()fxaxb，若对任意的(,)xmn，均有()0fx，求a的取值范围②已知2()25fxaxx，若对任意的(3,2)x，均有()0fx，求a的取值范围③已知22()2(1)5fxaxax，若对任意的(3,2)x，均有()0fx，求a的取值范围④已知3()2(1)5fxaxax，若对任意的(3,2)x，均有()0fx求a的取值范围⑤已知32()2(9)5fxaxax，若对任意的(3,2)x，均有()0fx求a的取值范围例题2.（改编）已知函数122xaxxf在3,1上的最大值为aM，最小值为am，又已知函数amaMag，（1）求ag的表达式；（2）指出ag的单调区间，并求出ag的最小值答案：根据对a是否为0以及对称轴的讨论，易知11,2()195,2aaMaaa195,311()1,131,1aamaaaaa，所以易知184,31112,()321196,1284,1aaaagaaaaaaa所以()ga在1(,)2单调递减，在1(,)2单调递增，所以当12x时，()fx有最小值12点评：本题考察的主要是二次函数带参数在已知定义域上的最值问题的讨论变式：1.对称轴不动（①定义域不动②定义域动（含参数））2.对称轴动（含参），定义域不动（考试最喜欢考）3.对称轴动（含参），定义域动（含参）但是参数还是同一个参数方法：找出对称轴与定义域边界及定义域中值的临界点讨论即可4.对称轴动（含参），定义域动（含参）①参数不一样，那么或许可以看看题目中参数的范围，是否可以直接根据单调性求②参数不一样，参数也没范围，那么真不能做了3/11（13江苏）在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数1yx(x＞0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为__________．解：设0001,,0Pxxx则222222200000200000111112++2=+-2+22PAxaaxaxaxaxaxxxxx令001t2xtx则222=(t)=t2222PAfatat对称轴ta1.2a时，22min2(2)2422428PAfaaaa1a，3a（舍去）2.2a时，22min2()228PAfaaa10a，10a（舍去）综上1a或10a点评：本题综合性较高，考查了带参数的二次函数在已知定义域上的最值问题（高一下学期必须学会），同时考查了换元思想，分类讨论的思想是一道非常漂亮的题目二．三次函数及特殊函数型（通常是求导后对二次函数的零点进行讨论，从而求最值）先来几个比较特殊的题目，平时稍微长点心眼，多记记，就记住了1.（原创）已知函数()0fx且'()()0xfxfx，对所有满足条件的函数()fx，始终有3(2)(23)(1)faaf成立，求a的取值范围答案：由题可知0x时，0(0)0f与题目()0fx矛盾，所以显然有0x所以由条件易知()fxx单调递增，由题可知3(2)23(1)22faaf始终成立，即3(2)232(1)21faaf恒成立，因为()fxx单调递增，又()fxx是满足条件的所有函数，所以(2)2(1)1ff的最小值总大于1，所以有32312aa，知a的范围是152a或1512a点评：对于某些题中既有()fx又有()'fx的这种题型，我们不妨去联想它的原函数4/112.（原创）已知函数22()log(1)fxxxax；若对于任意31,2a，总存在1,210x，使得不等式0()fxm成立，则m的取值范围是_____________________答案：分析知2log(1+)x单增，又分析知2xax在1x时取最大值，所以0()fx的最大值为(1)f，所以有(1)mf恒成立，分离变量易知12m3.322()=+(0)fxxaxaxma若对任意3,6a，()1fx在2,2x上恒成立，求m范围解答：先看成是a的二次函数，对称轴为1,12x，所以最大值不是在3处就是在6处，所以有32323916361xxxmxxxm对2,2x恒成立，易知87m点评：对于一些双变量的函数最值问题，我们难以处理时，往往可以去看看本身的定义域，从而确定原函数的单调性，确定最值4.对满足2p所有实数p，求使不等式212xpxpx恒成立的x的取值范围解答：看成是p的一次函数点评：对哪个参数恒成立，就看成是哪个参数的函数5.已知2101mxmx对4x恒成立，求m的取值范围解答：法1:看成乘积小于0恒成立，转变成二次函数恒成立法2:必须有一正一负恒成立变式：2101mxmx对4m恒成立，求x的取值范围解答：如果看成是m的函数，乘积后就变成关于m的三次函数，所以我们可以转变思维，转变成两个式子同正或同负6.若对于满足13t的一切实数t，不等式222(3)(3)0xttxtt恒成立，则x的取值范围为．解答：分解因式易知2()(3)0xtxt所以必须有同正或同负恒成立点评：通过这几个题目的对比，所以我们发现虽然我们常说对哪个参数恒成立就看成是哪个参数的函数，但是有时候也需要转变思维，不能太死板5/117.已知2237()345xxfxax，若对任意的1,3x，()0fx恒成立，求a的取值范围类题：（10.江苏）.将边长为m1正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(S梯形的周长）梯形的面积,则S的最小值是.点评：二次比二次型的值域问题，一定要熟练掌握，先分离常数，转变成一次比二次，设一次为t，转变成关于t的对勾函数，解决值域另外一次比一次型的其实只是对称中心改变而已，可以直接画图，建议跟学生讲明白8.228()1mxxnfxx的最大值是9，最小值是1，求m与n的值解答：整理成关于x的二次函数，由题意知二次函数一定有解，所以有0恒成立，转变成关于y的一个二次函数恒成立，易知5和9是它的两个根，容易把,mn求出来点评：此题比较特殊，只要讲过，那么以后碰到这类题，就不再那么无从下手了9.（08江苏）已知13)(3xaxxf对于1,1x总有0)(xf成立，则a=解：2()'33fxax法1：分离变量，求最值法2：直接求导10.若不等式|3lnaxx|≥1对任意(0,1]x都成立，则实数a取值范围是．解析：显然1x时，有||1,1,,1aaora。令3()ln,gxaxx32131()3axgxaxxx①当1a时，对任意(0,1]x，331()0axgxx，()gx在(0,1]上递减，min()(1)1gxga，此时()gx[,)a，|()gx|的最小值为0，不适合题意。②当1a时，对任意(0,1]x，33311()03axgxxxa()gx的最小值为3111()ln(3)333gaa≥1，解得：23ea。故所求23ea。点评：当遇到恒成立问题，有参数时，或许可以看看定义域，先适当的压缩一下范围，或许可以避免一些不必要的讨论6/1111.设常数0a，函数2()ln2ln1fxxxax((0,))x.（I）令()()gxxfx(0)x，求()gx的最小值，并比较()gx的最小值与零的大小；（II）求证：当1x时，恒有2ln2ln1xxax．解（Ⅰ）∵()(ln)(ln)2ln1fxxxxax，(0,)x∴112()1[ln(ln)]afxxxxxx，2ln21xaxx，∴()()2ln2gxxfxxxa，(0,)x∴22()1xgxxx，令()0gx，得2x，易知()fx在(0,2)上单调递减，在(2,)单调递增∴()gx在2x处取得极小值(2)22ln22ga，即()gx的最小值为(2)22ln22ga．(2)2(1ln2)2ga，∵ln21，∴1ln20，又0a，∴(2)0g．证明（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()gx的最小值是正数，∴对一切(0,)x，恒有()()0gxxfx，从而当0x时，恒有()0fx，故()fx在(0)，∞上是增函数．∴当1x时，()(1)fxf，2(1)1ln12ln110fa∴()0fx，即21ln2ln0xxax，∴2ln2ln1xxax故当1x时，恒有2ln2ln1xxax．点评：此题又是有那么一点点特殊，当我们难以处理导函数的正负情况时，我们或许可以想想是什么导致了我们难以处理，是否可以通过判断'()xfx的正负来确定导函数的正负，但是本题由于题目一步步的提示你怎么做，所以就缺少了应有的美感12.2()1fxx，对2,3x，2()4()(1)4()xfmfxfxfmm恒