应用基本不等式的八种变形技巧

应用基本不等式的八种变形技巧[学生用书P117]基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值，即所谓“和定积最大，积定和最小”．但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适当变形后才可求最值．常见的变形技巧有以下几种：加上一个数或减去一个数使和或积为定值函数f(x)＝4x－3＋x(x3)的最大值是()A．－4B.1C．5D．－1【解析】因为x3，所以3－x0，所以f(x)＝－43－x＋（3－x）＋3≤－243－x·（3－x）＋3＝－1.当且仅当43－x＝3－x，即x＝1时等号成立，所以f(x)的最大值是－1.【答案】D平方后再使用基本不等式一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值．若x0，y0，且2x2＋y23＝8，求x6＋2y2的最大值．[点拨]由于已知条件式中有关x，y的式子均为平方式，而所求式中x是一次的，且根号下y是二次的，因此考虑平方后求其最值．【解】(x6＋2y2)2＝x2(6＋2y2)＝3·2x21＋y23≤3·2x2＋1＋y2322＝3×922.当且仅当2x2＝1＋y23，即x＝32，y＝422时，等号成立．故x6＋2y2的最大值为923.展开后求最值对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值．已知a0，b0且a＋b＝2，求1a＋11b＋1的最小值．[点拨]由于待求式是一个积的形式，因此需将多项式展开后将积的最小值转化为和的最小值．【解】由题得1a＋11b＋1＝1ab＋1a＋1b＋1＝1ab＋a＋bab＋1＝3ab＋1，因为a0，b0，a＋b＝2，所以2≥2ab，所以ab≤1，所以1ab≥1.所以1a＋11＋1b≥4(当且仅当a＝b＝1时取等号)，所以1a＋11b＋1的最小值是4.变形后使用基本不等式设a1，b1，且ab－(a＋b)＝1，那么()A．a＋b有最小值2(2＋1)B．a＋b有最大值(2＋1)2C．ab有最大值2＋1D．ab有最小值2(2＋1)【解析】因为ab－(a＋b)＝1，ab≤(a＋b2)2，所以a＋b22－(a＋b)≥1，它是关于a＋b的一元二次不等式，解得a＋b≥2(2＋1)或a＋b≤2(1－2)(舍去)，所以a＋b有最小值2(2＋1)．又因为ab－(a＋b)＝1，a＋b≥2ab，所以ab－2ab≥1，它是关于ab的一元二次不等式，解得ab≥2＋1或ab≤1－2(舍去)，所以ab≥3＋22，即ab有最小值3＋22.【答案】A形如f（x）g（x）型函数变形后使用基本不等式若y＝f（x）g（x）中f(x)的次数小于g(x)的次数，可取倒数后求其最值．求函数y＝（x＋5）（x＋2）x＋1(x≠－1)的值域．[点拨]将(x＋5)(x＋2)用(x＋1)来表示再变形为f(x)＝Ax＋Bx＋C的形式，然后运用基本不等式求解．【解】因为y＝（x＋5）（x＋2）x＋1＝x2＋7x＋10x＋1＝（x＋1）2＋5（x＋1）＋4x＋1＝x＋1＋4x＋1＋5，当x＋10时，即x－1时，y≥2（x＋1）·4x＋1＋5＝9(当且仅当x＝1时取等号)；当x＋10，即x－1时，y≤5－2（x＋1）·4x＋1＝1(当且仅当x＝－3时取等号)．所以函数的值域为(－∞，1]∪[9，＋∞)．用“1”的代换法求最值已知1x＋2y＝1，且x0，y0，求x＋y的最小值．【解】法一：因为x0，y0，所以x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·1x＋2y＝3＋yx＋2xy≥3＋2yx·2xy＝3＋22.当且仅当yx＝2xy，且1x＋2y＝1，即x＝2＋1，y＝2＋2时，上式等号成立．故x＋y的最小值是3＋22.法二：因为1x＋2y＝1，所以x＝yy－2.因为x0，y0，所以y－20.所以x＋y＝yy－2＋y＝y2－yy－2＝（y－2）2＋3（y－2）＋2y－2＝y－2＋2y－2＋3≥3＋22当y－2＝2y－2，即y＝2＋2)时取等号，此时x＝2＋1.求以形如或可化为ax＋by＝1型为条件的cx＋dy(a，b，c，d都不为0)的最值可利用“1”的代换求乘法．本题中的条件1x＋2y＝1也可化为2x＋y－xy＝0.若a，b为常数，且0x1，求f(x)＝a2x＋b21－x的最小值．[点拨]根据待求式的特征及0x1知x0，1－x0.又1＝x＋(1－x)，因此可考虑利用“1”的代换法．【解】因为0x1，所以1－x0.所以a2x＋b21－x＝a2x·1＋b21－x·1＝a2x·[x＋(1－x)]＋b21－x·[x＋(1－x)]＝a2＋a2（1－x）x＋b2x1－x＋b2≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.上式当且仅当a2（1－x）x＝b2x1－x时，等号成立．所以a2x＋b21－x≥(a＋b)2.故函数f(x)的最小值为(a＋b)2.若实数a，b满足ab－4a－b＋1＝0(a1)，则(a＋1)·(b＋2)的最小值是__________．[点拨]由于所给条件式中含两个变量a，b，因此可以用一个变量表示另一个变量，将待求式转化为含一个变量的式子后求其最值．【解析】因为ab－4a－b＋1＝0，所以b＝4a－1a－1＝4＋3a－1.又因为a1，所以b0.所以(a＋1)(b＋2)＝ab＋2a＋b＋2＝6a＋6a－1＋9＝6(a－1)＋6a－1＋15.因为a－10，所以6(a－1)＋6a－1＋15≥26（a－1）×6a－1＋15＝27.当且仅当6(a－1)＝6a－1(a1)，即a＝2时取等号．【答案】27已知条件含形如ax＋bxy＋cy＋d＝0(abc≠0)型的关系式，求关于x、y一次式的和或积的最值问题．常将关系式中ax＋bxy＋cy＋d＝0变形，用一个变量x(或y)表示另一个变量y(或x)后求解．代换减元求最值设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当zxy取得最小值时，x＋2y－z的最大值为__________．【解析】x2－3xy＋4y2－z＝0⇒z＝x2－3xy＋4y2，①所以zxy＝x2－3xy＋4y2xy＝xy＋4yx－3≥2xy·4yx－3＝1.等号成立条件为x＝2y，代入到①可得z＝(2y)2－3·2y·y＋4y2＝2y2，所以x＝2y，z＝2y2，所以x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2(y2－2y)＝－2(y－1)2＋2≤2.【答案】2在含有两个以上变元的最值问题中，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个变元的问题使用基本不等式，或者把问题化为一个变元的问题使用函数方法求解．建立求解目标不等式求最值已知x，y均为正实数，且xy＝x＋y＋3，则xy的最小值为__________．【解析】因为x，y均为正实数，所以x＋y≥2xy，xy＝x＋y＋3可化为xy≥2xy＋3，即(xy－3)(xy＋1)≥0，所以xy≥3，xy≥9，当且仅当x＝y时，xy取得最小值9.【答案】9利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出不等式的解集即得求解目标的最值．