变换法解微分方程

题目:变换法在求解常微分方程中的应用姓名:学院:数学与统计学院专业:数学与应用数学年级班级:2011级1班指导教师:刘伟2015年5月31日毕业论文（设计）作者声明本人郑重声明:所呈交的毕业论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外,本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。本人完全了解有关保障、使用毕业论文的规定,同意学校保留并向有关毕业论文管理机构送交论文的复印件和电子版。同意省级优秀毕业论文评选机构将本毕业论文通过影印、缩印、扫描等方式进行保存、摘编或汇编；同意本论文被编入有关数据库进行检索和查阅。本毕业论文内容不涉及国家机密。论文题目:变换法在求解常微分方程中的应用作者单位:数学与统计学院作者签名:2015年5月31日目录摘要.........................................................................................................1引言..............................................................................................................................21．在一阶方程中的应用.......................................................................................31.1变量分离方程..................................................................................................31.2齐次与可以经过变量代换化为齐次的常微分方程：..............................31.3一阶线性方程..................................................................................................71.4几种特殊类型的一阶常微分方程..................................................................81.5伯努利方程......................................................................................................91.6黎卡提方程...................................................................................................102．在n阶微分方程中的应用........................................................................102.1在n阶非齐次线性微分方程......................................................................102.2非齐次线性微分方程..................................................................................123．变系数齐次方程...........................................................................................133.1尤拉方程.......................................................................................................133.2二阶变系数线性方程...................................................................................133.3三阶变系数微分方程...................................................................................14结束语.......................................................................................................................14参考文献..................................................................................................................16致谢.........................................................................................................................17周口师范本科毕业论文（设计）1变换法在求解常微分方程中的应用摘要:变换法是常微分方程中的一种计算方法.它可以起到简化问题的作用，变量变换思想也是一种常微分方程中的重要思想.应用原始变量的变换与新的变量代换,使原始方程的类型相对简单的解决方案，从而达到解决的目的.在常微分方程中,变换法在许多类型的常微分方程的求解中起到及其重要的作用.本文就应用变换法在求解几类微分方程进行探究,通过陈述理论与联系实例结合阐述变量变换法以及变量变换思想在求解常微分方程的应用.关键词：常微分方程；变量分离；变换法；ApplicationoftransformmethodinsolvingthedifferentialequationAbstract:Transformmethodisacalculationmethodofordinarydifferentialequation.Itcanplayaroletosimplifytheproblem,theideaofvariabletransformationisanimportantthoughtinordinarydifferentialequation.Theapplicationoftheoriginalvariabletransformandthenewtypeofvariablesubstitution,theoriginalequationsolutionisrelativelysimple,soastoachievethepurposeofsolving.Inthedifferentialequation,variablesubstitutionplaysitsimportantroleintheordinarysolutiondifferentialequationsinmanytypesof.Thispaperexploresthesolutionsforseveralclassesofdifferentialequationsontheapplicationofvariablesubstitution,throughthestatementoftheoryandexamplescombinedwithvariabletransformationmethodandtheapplicationofvariabletransformationthoughtinthesolutionofordinarydifferentialequations.KeyWords:Ordinarydifferentialequation;Separablevariable;Transformmethod周口师范本科毕业论文（设计）2引言常微分方程是在解决实际问题的过程中产生的,而在对它研究的过程中又促进了许多实际问题的研究,与此同时也对其他学科的发展也起到了十分积极的作用.微分方程也在很多学科领域里中有着极其重要的应用,如化学中反应的稳定性问题,飞机导弹飞行时飞行状态的稳定性问题,电子装置的设计等等.这些问题都可以化成常微分方程的求解问题,或者化为研究解的性质问题,微分方程在实际问题中的背景广泛,应用性强.在解决数学问题的过程中,变换法的应用占有着重要的地位,也是在数学的各个方面的转化运用能力的一种体现形式,本文以变换法为主线,就一些典型的微分方程的变换法求解,对一阶常微分方程在[1-4]中给出了计算方法与类型,n阶常微分方程在[5-7]中涉及以及一些变系数常微分方程的变换法在[8-13]中给出初步的探讨,灵活运用变换法达到更加简单直接的求解一些常微分方程的目的,以帮助我们进一步的理解基本概念,提高我们的理解能力、解题能力和把理论用于实践的能力.周口师范本科毕业论文（设计）31在一阶方程中的应用变换法在解微分方程中应用的实质是将我们不熟悉的微分方程通过变换法化为我们熟悉的，或者说是容易求解的微分方程，然后解出该方程,最后将变量带回，以达到将一般的方法难以解出的方程简单的求解出的目的。一阶常微分中许多方程的求解问题都可以转化为求解变量分离方程，多种一阶微分方程都可通过变换法等方法，最终转换成变量分离或者其它可求解类型的微分方程方程,进而求出结果,以下我们以可以转化为变量分离方程的微分方程为例子简单的阐述变量变换的应用.步骤：（1）通过变换法将方程转化成变量分离方程.（2）分离变量.（2）对方程两边同时积分,整理通解.（3）根据初始条件来得到方程的特解.1.1变量分离方程我们定义变量分离方程为形如)()(xgxfdxdy的微分方程为变量分离方程.运用变量分离的方法将原方程化为dxxfygdy)()(的形式，然后将该方程左右两边进行积分，很容易就可以求解该方程，这是最基本的微分方程的类型，后面的许多其他类型我们最终也会通过适当的变换转化成该类型进行计算.1.2齐次与可以经过变量代换化为齐次的常微分方程：形如)(xyfdxdy，的方程称为齐次方程.通过变换法引入新变量令xyu或uxy带入得uxdxduuf)(，整理一下变为周口师范本科毕业论文（设计）4xuufdxdu1])([，可看做变量分离方程，分离变量得xduuufdu)(.两端积分后得u，再将xyu带入即可得到齐次方程的解.一些方程可以通过简单的变量代转化为齐次方程，然后在用解其次方程的方式即可求解.例方程满足)(222111zcybxacybxagdxdy,的形式，由于系数的不同可以分成三种情况进行讨论，解题过程如下：（1）当021cc时，原方程即为)()(2211xyfxybaxybagdxdy,为齐次方程,再令yxu即为变量分离方程.（2）当21,cc不全为零且2121bbaa（即行列式02211baba)时令2121bbaa则原方程可化为)())((22222122ybxafcybxacybxagdxdy()()(21xfcxcxg),再令ybxau22易有dxdybadxdu22.代入上式可得)(22ufbadxdy,即为变量分离方程计算依照前文所述即可得到结果.周口师范本科毕业论文（设计）5（3）当21,cc不全为零且02121bbaa（即行列式02121bbaa）时联立方程组.0,0222111cybxacybxa不妨令其解为),(，由于21,cc不全为0，所以0,0.进行