矩阵初等变换与逆矩阵

6.2矩阵的初等变换与逆矩阵6.2.1矩阵的初等变换6.2.2逆矩阵的概念及用初等行变换求解逆矩阵6.2.3用逆矩阵求解矩阵方程6.2.1矩阵的初等变换一、案例二、概念和公式的引出一、案例[投资组合]某人用60万元投资A、B两个项目，其中项目A的收益率为7％，项目B的收益率为12％，最终总收益为5.6万元．问他在A、B项目上各投资了多少万元？下面用高斯消元法求解此方程组，我们把方程消元的过程列在下表的左栏，系数及常数项对应的矩阵(增广矩阵)变换过程列在下表的右栏．解设他在A、B项目上各投资了x1、x2万元，根据题意，建立如下的线性方程组12120.070.125.660xxxx方程组消元的过程12120.070.125.6(1)60(2)xxxx增广矩阵变换的过程0.070.125.66011(1)、(2)互换121260(1)0.070.125.6(2)xxxx第一行与第二行互换60110.070.125.6100×(2)121260(1)712560(2)xxxx100乘以第二行6011756012(2)-(1)×712260(1)5140(2)xxx第一行的-7倍加到第二行6011051401/5×(2)12260(1)28(2)xxx1/5乘以第二行60110281(1)-(2)123228xx第二行的-1倍加到第一行03210281从这个案例的求解过程还可以看出：求解线性方程组的过程实际上是对方程组接连地进行了以下三种运算：(1)将两个方程的位置互换；(2)将一个方程乘以一个非零的常数；(3)将一个方程的k倍加到另一个方程上．对应的增广矩阵经过了相应的三种变换．(1)互换矩阵的两行；(2)用一个非零数乘矩阵的某一行；(3)将矩阵的某一行乘以数k后加到另一行．矩阵的如下三种变换(3)将矩阵的某一行乘以数k后，加到另一行，常用jirr(1)互换矩阵的两行，常用表示第i行与第j行二、概念和公式的引出矩阵的初等变换互换；(2)用一个非零数乘矩阵的某一行，常用irk表示用数k乘以第i行；krrj表示第i行的k倍加到第j行．称为矩阵的初等行变换.krrj把定义中的“行”换成“列”(所用记号把“r”换成“c”，即得矩阵的初等列变换.矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为矩阵的初等变换.6.2.2逆矩阵的概念及用初等行变换求解逆矩阵一、案例二、概念和公式的引出三、进一步的练习一、案例[汽车销售量]某一汽车销售公司有两个销售部，矩阵S给一二18152417S大小月末盘点时统计得到两个销售部的利润，用矩阵表示为W=(3720035050)．设两种车的销售利润为矩阵P=(a,b)则有PS=W，问公司如何从PS=W中得到两种车的销售出了两个汽车销售部的两种汽车的销量利润P?要解决这一问题，需要引入类似于数的除法的分析0a作用．一个数的倒数1a可用111aaaa来表示．运算．从矩阵的角度来看，单位矩阵E类似于数1的对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使二、概念和公式的引出逆矩阵则称方阵A是可逆的（简称A可逆），并称B是A的逆ABBAIBA1矩阵，记作即11AAAAI满足如下规律：设A、B均为n阶可逆矩阵，数0，方阵的逆的运算(1)1A可逆，且AA11)((2)A可逆，且111)(AAAB可逆，且111)(ABAB(3)可逆，且)()(11AA(4)A在给定的n阶方阵的右边放一个n阶单位矩阵I形成初等行变换求逆矩阵一个n×2n的矩阵)(IA，然后对矩阵)(IA实施初等行变换，直到将原矩阵A所在部分变成单位矩阵I，原单位矩阵部分经同样的初等变换后，所得1A到的矩阵就是A的逆矩阵，即)()(1AIIA初等行变换三、进一步的练习练习1[用电度数]我国某地方为避开高峰期用电，实行分时段计费，鼓励夜间用电．某地白天(AM8：00—PM11：00)与夜间(PM11：00—AM8：00)的电费标准为P，若某宿舍两户人某月的用电情况如下：白天夜间174132150120一二所交电费F=(90.29101.41)，问如何用矩阵的运算表示当地的电费？解可以得到当地的电费标准为FAP1下面用初等变换求1A令174132150120A，因为FAP，等式两边同时左乘以矩阵1A,1201501013217401114501303013217401r21145030331109110rr21450130111901909r1258540909511101909rr158510136036111401909r29518036111909即1A所以1PAF2951803611190990.29101.410.46200.2323即白天的电费标准为0.462元/度，夜间电费标准为0.2323元/度.练习2[转动矩阵]机器人手臂的转动常用矩阵表示．其中的元素为转动角的三角函数值．求下面转动矩阵R的逆阵．8.00.06.00.00.10.06.00.08.0R解因为1008.00.06.00100.00.10.00016.00.08.01355403500010010304005rr13107505010010304005rr312510750501001034001055r所以54053010530541A313107505010010002515020rr1374310005501001034001055rr6.2.3用逆矩阵求解矩阵方程一、案例二、概念和公式的引出三、进一步的练习一、案例[辑毒船的速度]一艘载有毒品的船以63km/h的速度离开港口，由于得到举报，24min后一辑毒船以75km/h的速度从港口出发追赶毒品走私船，问当辑毒船追上载有毒品的船时，它们各行驶了多长时间？设当辑毒船追上载有毒品的船时，载有毒品的船和辑毒船各行驶了x1，x2h，由题意知，它们满足解121263752460xxxx即1212637500.4xxxx记637511A12xXx00.4B方程两边同时左乘1A，得BAX1由初等行变换，可以得到A的逆矩阵为1175116312A所以1XAB1750302.5111630.425.22.11212一般地，对于矩阵方程AX=B，若矩阵A可逆，则二、概念和公式的引出对于矩阵方程XA=B，若A可逆，则BAX11BAX若A、B均可逆，则矩阵方程AXB=C的解为11BCAX三、进一步的练习练习1[配料]某工厂检验室有甲、乙两种不同的化学原料，甲种原料分别含锌与镁10%与20%，乙种原料分别含锌与镁10%与30%，现在要用这两种原料分别配制A、B两种试剂，A试剂需含锌、镁各2g、5g，B试剂需含锌、镁各1g、2g．问配制A、B两种试剂分别需要甲、乙两种化学原料各多少g？设配制A试剂需要甲、乙两种化学原料分别为x,yg；配制B试剂需要甲、乙两种化学原料分别为s,tg．根据题意，得如下矩阵方程解0.10.10.20.3xsyt设3.02.01.01.0AtysxX2512B则BAX1下面用初等行变换求1A21520.10.1100.20.30121211100012010rr即102010301A所以tysxX2512102010300101010即配制A试剂分别需要甲、乙两种化学原料各10g，配制B试剂需要甲、乙两种化学原料各10g、0g．1210101110023010rr12103010012010rr