专题一《常见递推数列通项公式的求法》

常见递推数列通项公式的求法类型一：类等差数列,方法归纳：累加的通项公式。求数列，，中，：数列例nnnnannaaaa)3,2,1(22111)(1nfaann即))()2()1(:(的和是可求的条件nfff分析：由已知易得naann21）1(2,,32,22,21342312naaaaaaaann),1()]1(321[21nnnaan上面各式相加得),3,2,1(22nnnan故可求和变式训练：1.已知数列na中，21a满足naannn21,求数列na的通项公式2.已知数列na中，21a满足nnaannn21,求数列na的通项公式的通项公式为列，则数且满足中，已知数列：例nnnnannaaaa2121111645342312:13423121nnaaaaaaaannaannnn－得分析)1(21)1(2111nnaannaann累乘的积是可求的，且若)1()2()1(),(1nfffnfaann该题型方法归纳：na累乘法求得类型二：类等比数列nnnnnaannnaa11)2(2nnannann)1()2)(1(1其他解法探究：是常数数列则可构造nann)1()1(21221)1(11nnaaaannnn，故有的通项公式。列，求数且满足中，已知数列：例nnnnannaaaa21211的通项公式求，且满足项和的前列各项均正数的数重庆：例nnnnnnaNnaaSSSna*1),2)(1(61)07(3nnnanaS的关系式，求通项及与类型三：知nnnanaS的关系式，求通项及与类型三：知2362nnnaaS分析：由题意得2366112111aaSan时，当212111111aSaaa故又或解得①②由②－①整理得2361211nnnaaS且有300)3)((1111nnnnnnnnaaaaaaaa又13)1(3232nnaaannn的通项为故的等差数列，，公差为是首项为故11nnnaSS的关系与可找出nnaa1nnnanaS的关系式，求通项及与类型三：知解。两项的关系式再分析求式两式相减，得出相邻得另一式子，与原关系，代替或方法总结：可考虑用)2(11nnnn），再求的关系式，先求出与得消（有时用nnnnnnnnaSSSanSSa11)2(的通项公式，求数列项和的前数列福建nnnnnaNnaSaSna)(2,1,)07(1.11变式训练：两式相减整理得解：,221nnaS，而3212aa)2(32)1(12nnann故312nnaa232nna类型四：待定系数法（构造法）求递推数列的通项：满足与若数列相邻两项一nnaa1)(),(为常数dq则可考虑待定系数法设xaqxann1为待定系数，其中x()dqxx满足构造新的辅助数列}{xan是首项为xa1公比为q的等比数列，求出xan,再进一步求通项na的通项公式求数列，满足项和为的前：数列例nnnnnaNnnaSSna)(1241211nnaa两式相减整理得，且解析：由32,2312111naSanaSnnnn的等比数列，公比为是首项为故数列2121221aannnnnaa212212121故)2(2121nnaadqaann1数列na满足)(22,2111Nnaaannn且求其通项na:)(22:11得由解Nnaannn1221221111nnnnnnnnaaaannann1)1(12nnna2变式探究一：例5变式探究二：的通项公式，求数列的数列nnnnnaNnaaaa)(24,2111例6的通项公式，求数列的数列nnnnnaNnaaaa)(24,21111124nnnaa1112144nnnnnaa可化为为什么类型呢？，转化同除以14nnnnnnaa214411其他解法探究：nnnnnaaaaaa2144,2144,214411322332122nnnaa21212144321nnnna21121212121432nnna24上面各式相加可得几个式子？122211nnnnaa可化为的等比数列，公比为是首项为故数列22121212aannnnnnnnaa24222121直接应用。怎么办？不是常数，不能12n构造新数列，同除以12n1221211nnnnaa都是常数与相邻两项，是其、，新数列2122211nnnnnnaaa的通项公式，求数列的数列nnnnnaNnaaaa)(24,21111124nnnaa递推式如),,,0,(11为常数qdbbdqNnbdqaannn型的通项的求法:(1)若qb,则可化为dbabannnn11,从而化为以ba1为首项,公差为d的等差数列,通项可求.(2)若qb,则可化为dbabqbannnn11,进而转化为型如dqbbnn1的数列,从而运用构造法可求通项.探究归纳,总结提升:(3)若qb,则可化为,1111nnnnnqddqqaqa，进而转化为型如11nnnqbb的数列,从而通项可求.nnnnnnnaznxaznxazxnaqzxnaAAnqaa列，构造得等比数、、然后展开对比系数确定为常数）设、、＋若数列相邻两项满足qBA),()1(qB(B11类型五：为常数）、、，＋qB(B1AAnqaann的通项公式。求数列中，在数列山东nnnnaNnnaaaa)(,2,2)06(111,1zx展开后对比系数可得)1(21)1(1＋＋＋＋则nanann,21naann分析：的等比数列，公比为是首项为故241111anan1224111nanannnn)(2)1(1zxnazxnann可设探究归纳：例7nnnnaa21222122321,21naann方法二：:21可得等式两边同除以n11112222nnnnnnaa111222nnnnnnaa各式相加可得，,2122,,2222212211322332122nnnnnnaaaaaann212221S32令14321222221S21＋nnnn①②1132212121212121S21nnnnn＋12211Snnnannnnna2122121nann累加由①－②得其他解法探究：的通项公式。求数列中，在数列山东nnnnaNnnaaaa)(,2,2)06(11例7数列na满足)(24,2111Nnnaaannn且求其通项na,2144,,2244214411322332122nnnnnnaaaaaa各式相加得，nnnnaa21222124321:24:11得由略解nnnnaa111111244244nnnnnnnnnnnaanaa变式训练：nn212221S32令nnnna2)1(461答案错位相减求和法),,(1均不为零rqprqapaannn.,;,,:则构造法求通项若通项则化为等差数列求若倒数法求法rprp类型六：.}{,12,1,}{111的通项公式求中已知数列nnnnnaSSSaa例7的通项公式求，，且满足已知数列例nnnnannaaaa：1218211)(2)1()1(221zynxnaznynxann分析：设zyxnyxxnaann)2(221展开整理可得对比系数可得：与1221nnaann1121zyxyxx311zyx)3(23)1()1(221nnannann故有的等比数列，公比为是首项为故知26}3{12annannnnnna2326312＝得由等比数列通项公式可3232nnann＝？CBnAnqaann呢21)()1()1(221zynxnaqznynxann方法：设探究归纳：该类型可转化为特殊数列：类型七：.}{)2(}{:)1(),4,3)(2(31,2,1}{12121nnnnnnnnaaaanaaaaaa的通项公式求数列是等比数列；数列求证满足设数列例8其它类型求法：按题中指明方向求解.类型八：的通项公式。求数列满足例：已知数列nnnnnaNnaaaaaa)(23,3,11221的两根是方程与023212ttnnnnaaaa22112可得是故}2{1nnaa121nnaa），（即取12yx常数数列122121aaaann)1(211nnaa122211nnnnaannnaaa2312即由（选讲）变式探究：若已知数列相邻三项的递推关系式,又如何求其通项公式呢?nnnnnnnxyaayxaxaayxaa12112)()(设2112232312yxyxxyyxaaannn或对比系数得与02312nnnaaa可化为（三）若数列相邻三项的关系满足012nnnCaBaa,02有解且方程CBttCyxByxyx,,则有与若设解为则可得)(112nnnnxaayxaa，且若0012yxaa为公比的辅助等比数列则可构造以y,1nnxaa转化为相邻两项的类型再分析求解问题：知道连续三项满足这样的递推关系的数列的通项，在什么条件下，你才会求其通项公式呢？有解即方程02CBtt0)()(12112nnnnnnnxyaayxaxaayxaa设有解对比系数得与CxyByxCaBaannn012探究归纳：