4第四章向量组的线性相关性习题解答

1习题四A组1．填空题(1)设T=(2,3,7)x，T=(4,0,2)y，T=(1,0,2)z，且2()3()xayaz，则a=．解由2()3()xayaz得1523618axyz．(2)单个向量线性无关的充分必要条件是．解0．(3)已知向量组(1,0,1)=,(2,2,3)=，(1,3,t)=线性相关，则．解因为12310110022322125013131ttt，所以52t．(4)设有向量组,，又，2，2，则向量组,,线性．解123,,可由12,线性表示，所以123,,的秩小于等于2，从而可知123,,线性相关．(5)若向量组,,线性相关，则向量组，，线性．解因为121232313110011101，又11001120101，所以矩阵110011101可逆，从而1112223331110011101，即123,,与122331,,等价．故12，2331,线性相关．(6)设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(aa，),1,2,3(a，)1,2,3,4(线性相关，且1a，则．解12a．2(7)设向量组123,0,,,,0,0,,acbcab线性无关，则,,abc必满足关系式．解0abc．(8)设三阶矩阵122212304A=，三维列向量T,1,1a．已知A与线性相关，则a．解1a．2．选择题(1)n维向量组12s,,,aaa(3≤s≤n)线性无关的充分必要条件是．(A)存在一组全为零的数12,,,skkk，使1122sskkk0；(B)存在一组不全为零的数12,,,skkk，使1122sskkk0；(C)12s,,,aaa中任意两个向量都线性无关；(D)12s,,,aaa中任意一个向量都不能由其余向量线性表示．答（D）．12,,,s线性相关的充分必要条件是：12,,,s中至少有一个向量可由其余1s个向量线性表示．所以12,,,s线性无关的充分必要条件是：12,,,s中任意一个向量都不能由其余1s个向量线性表示．(2)设有两个n维向量组,,,s、,,,s，若存在两组不全为零的数12,,,skkk；12,,,s，使111111()()()()sssssskkkk0；则．(A),,ss，,,ss线性相关；(B),,,s、,,,s均线性无关；(C),,,s、,,,s均线性相关；(D),,ss，,,ss线性无关．答（A）．因为111111()()()()sssssskkkk0，111111()()()()sssssskk0，所以1111,,,,,ssss线性相关．(3)设向量组12,,,m和向量组,,,m为两个n维向量组(2m)，且31,,,mmmm则有．(A)12,,,m的秩小于,,,m的秩；(B)12,,,m的秩大于,,,m的秩；(C)12,,,m的秩等于,,,m的秩；(D)无法判定．答（C）．因为1122011101110mm，又1011101(1)(1)0110mm，所以有11122011101110mm，即12,,,m与12,,,m等价，从而知12,,,m与12,,,m的秩相等．(4)设有两个n维向量组12,,,m和,,,m均线性无关，则向量组12,,,mm．(A)线性相关；(B)线性无关；(C)可能线性相关也可能线性无关；(D)既不线性相关，也不线性无关．答（C）．例如，121211110,1;0,10000，则12,和12,都线性无关，但1122,线性相关．又如，121211110,1;0,1,0000则12,和12,都线性无关，1122,也线性无关．(5)设有向量组12,,,sA与,,,tB均线性无关，且向量组A中的每个向量都不能由向量组B线性表示，同时量组B中的每个向量也不能由向量组A线性表示，则向量组412,,,,,,st的线性相关性为．(A)线性相关；(B)线性无关；(C)可能线性相关也可能线性无关；(D)既不线性相关，也不线性无关．答（C）．例如，当121211000,1;0,1,0011则12,和12,都线性无关，且12,不能由12,线性表示，12,也不能由12,线性表示．但12,，12,线性相关．又例如121211000100,;,,00010011则12,和12,都线性无关，且12,不能由12,线性表示，12,也不能由12,线性表示．但12,，12,线性无关．(6)设向量组I:12,,,r可由向量组Ⅱ:12,,,s线性表示，则．（A）当rs时，向量组II必线性相关；（B）当rs时，向量组II必线性相关；（C）当rs时，向量组I必线性相关；（D）当rs时，向量组I必线性相关．答（D）．(7)设12,,,s均为n维向量，下列结论不正确的是．(A)若对于任意一组不全为零的数skkk,,,21，都有1122sskkk0，则12,,,s线性无关；(B)若12,,,s线性相关，则对于任意一组不全为零的数skkk,,,21，都有1122sskkk0；(C)12,,,s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s；(D)12,,,s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关．答（B）．(8)设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有．(A)A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关；(B)A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关；(C)A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关；(D)A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关．答（A）．3．将b表示为123,,aaa的线性组合.5(1)T1(1,1,1)a，T2(1,2,1)a，T3(0,0,1)a，T(1,0,2)b；(2)T1(1,2,3)a，T2(1,0,4)a，T3(1,3,1)a，T(3,1,11)b．解（1）令112233xxxaaab，即123110112001112xxx．因为11012010111D，所以由Cramer法则，得1232,1,1xxx，故1232baaa．（2）令112233xxxaaab，即1231113203134111xxx．因为11120330341D，所以由Cramer法则，得123810,,33xxx．故12381033baaa．4．已知向量组12,,,raaa线性无关，且112baa，223baa，…，1rrbaa．证明当r为奇数时12,,,rbbb线性无关；当r为偶数时12,,,rbbb线性相关．解令1122rrxxxbbb0，得1122231()()()rrxxxaaaaaa0，111221()()()rrrrxxxxxxaaa0．因为12,,,raaa线性无关，所以有611210,0,0rrrxxxxxx．该方程组的系数行列D为11000111000011002,1(1)0,.0001000011rrDr为奇数为偶数；当r为奇数时0D，方程组只有零解，即12,,,rbbb线性无关；当r为偶数时0D，方程组有非零解，即12,,,rbbb线性相关．5．已知12,,,raaa线性无关，且11ba，212baa，…，12rrbaaa，证明12,,,rbbb线性无关．证明因为1122100110111rrbababa，100110111可逆，即11122100110111rrababab．从而12,,,raaa与12,,,rbbb等价，于是得12,,,raaa线性无关．6．设有两个n维向量组12:(,,,)iiiinAaaaa，12:(,,,)niipipipBaaab，其中1,2,,im，而12nppp是1,2,,n这n个自然数的某个排列，证明向量组A与向量组B的线性相关性相同．证明令1122mmxxxaaa0，即1112121121222211220,0,0mmmmnnmnmaxaxaxaxaxaxaxaxax，上下交换方程，可得71112221122112211220,0,0nnnppmpmppmpmppmpmaxaxaxaxaxaxaxaxax．即1122mmxxxbbb0．因为1122mmxxxaaa0与1122mmxxxbbb0同解，所以12,,,maaa与12,,,mbbb的线性相关性相同．7．m个r维向量的每个向量添上nr个分量，成为m个n维向量．若m个r维向量线性无关，证明m个n维向量亦线性无关．证明设有m个r维向量111211212,,,mmrrrmaaaaaaaaa，因为12,,,maaa线性无关，所以当1122mmxxxaaa0时，有且仅有120mxxx，即方程组111122111220,0mmrrrmmaxaxaxaxaxax只有零解，从而方程组1111221112211220,0,0mmrrrmmnnnmnaxaxaxaxaxaxaxaxax也只有零解．令11121112212,,,mrrmrmnnnmaaaaaaaaa