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第1页（共14页）专题基础知识回顾四三角形一、单元知识网络：经典例题透析考点一、三角形的概念及其性质1．（1）（2010山东济宁）若一个三角形三个内角度数的比为2︰3︰4，那么这个三角形是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形（2）三角形的三边分别为3，1-2a，8，则a的取值范围是()A．-6＜a＜-3B．-5＜a＜-2C．2＜a＜5D．a＜-5或a＞-2举一反三：【变式1】已知a，b，c为△ABC的三条边，化简得_________.【变式2】有五根细木棒，长度分别为1cm，3cm，5cm，7cm，9cm，现任取其中的三根木棒，组成一个三角形，问有几种可能()A.1种B.2种C.3种D.4种第2页（共14页）【变式3】等腰三角形中两条边长分别为3、4，则三角形的周长是_________.2．（1）（2010宁波市）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A．5个B．4个C．3个D．2个（2）如图在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=50°，BD∥AC，则∠CBD的度数是______.3．已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C=3∠A，则此三角形中()A.一定有一个内角为45°B.一定有一个内角为60°C.一定是直角三角形D.一定是钝角三角形举一反三：【变式1】下图能说明∠1＞∠2的是()【变式2】如果三角形的一个内角等于其他两个内角的和，这个三角形是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定【变式3】下列命题：(1)等边三角形也是等腰三角形；(2)三角形的外角等于两个内角的和；(3)三角形中最大的内角不能小于60°；(4)锐角三角形中，任意两内角之和必大于90°，其中错误的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个思路点拨：本题的解题关键是要理解定义，掌握每种三角形中角的度数的确定.解析：(2)中应强调三角形的外角等于不相邻的两个内角的和；三角形中最大的内角若小于60°，则三个角的和就小于180°，不符合三角形内角和定理，故(3)正确；(4)三角形中，任意两内角之和若不大于90°，则另一个内角就大于或等于90°，就不能是锐角三角形.所以中有(2)错，故选B.考点二、三角形的“四心”和中位线第3页（共14页）4．（1）与三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形的()A.二条中线的交点B.二条高线的交点C.三条角平分线的交点D.三边中垂线的交点（２）（2010四川眉山）如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，……，则得到的第五个图中，共有________个正三角形．5．一个三角形的内心在它的一条高线上，则这个三角形一定是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形举一反三：【变式1】如图，已知△ABC中，∠A=58°，如果(1)O为外心；(2)O为内心；(3)O为垂心；分别求∠BOC的度数.【变式2】如果一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形是()A.锐角三角形B.只有两边相等的锐角三角形C.直角三角形D.锐角三角形或直角三角形【变式3】能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的线段，是三角形的()A.中线B.高线C.边的中垂线D.角平分线6．（1）（2010广东茂名）如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E、F分别是边AB、AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是（）第4页（共14页）A、15米B、20米C、25米D、30米（2）已知△ABC中，AB∶BC∶CA=3∶2∶4，AB=12厘米，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则△DEF的周长是________.举一反三：【变式1】求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.【变式2】已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，四边形EFGH是平行四边形吗?为什么?考点三、全等三角形7．对于下列各组条件，不能判定△≌△的一组是()A.∠A=∠A′，∠B=∠B′，AB=A′B′B.∠A=∠A′，AB=A′B′，AC=A′C′C.∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′D.AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′第5页（共14页）举一反三：【变式1】两个三角形有以下三对元素对应相等，则不能判定全等的是()A.一边和任意两个角B.两边和它们的夹角C.两个角和它们一角的对边D.三角对应相等8．（2010湖南长沙）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．（1）求证：△BEC≌△DEC；（2）延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．第8题图举一反三：【变式1】如图，已知:AC=DB，要使≌，只需增加一个条件是___________.【变式2】如图，已知，△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20cm，那么M到AB的距离是________.第6页（共14页）考点四、等腰三角形与直角三角形9．（1）（2010湖北黄石）如图，等腰三角形ABC中，已知AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为_____________.（2）等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于()A.顶角的2倍B.顶角的一半C.顶角D.底角的一半10．△ABC等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添加辅助线，请你写出尽可能多的结论.举一反三：【变式1】若一个三角形的两个内角分别为50°、80°，则这个三角形是_________三角形.第7页（共14页）考点：等腰三角形的判定.【变式2】已知等腰△ABC中，∠ABC=∠ACB=2∠A，且BD⊥AC，垂足为D，求∠DBC的度数.【变式3】把腰长为的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是________.解析：本题是动手操作题型，展开后会发现小三角形一边恰好是原三角形的中位线，从而得出小三角形的周长就是原三角形周长的一半.11．如果线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比可以是()A.1：2：4B.1：3：5C.3：4：7D.5：12：1312．（1）（2010年江苏无锡）①如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE．（下面请你完成余下的证明过程）第8页（共14页）②若将①中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2）,N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．③若将①中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCD…X”，请你作出猜想：当∠AMN=_____________°时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）（2）将一张矩形纸片如图所示折叠，使顶点落在点.已知，，则折痕的长为()A.B.C.D.举一反三：【变式1】下列条件能确定△ABC是直角三角形的条件有()(1)∠A+∠B=∠C；(2)∠A:∠B:∠C=1:2:3；(3)∠A=90°-∠B；(4)∠A=∠B=∠C.A.1个B.2个C.3个D.4个第9页（共14页）【变式2】如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC=4cm，BC=8cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为()A.B.C.D.5【变式3】已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D.(1)若∠BAC=30°，求证:AD=BD；(2)若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数.图1图2中考题萃1．（2010湖南株洲）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（）第10页（共14页）A．6B．7C．8D．92．(沈阳市)(3分)若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为()A.B.C.或D.或3.(太原市)(3分)在中，D，E分别是边AB，AC的中点，已知BC=10，则DE的长为()A.3B.4C.5D.64.(太原市)(3分)如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是()A.15B.16C.8D.75.(湛江市)(3分)已知等边三角形ABC的边长为，按图中所示的规律，用个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是()A.B.C.D.6.(成都市)(3分)如图,在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是()A.∠B=∠E，BC=EFB.BC=EF，AC=DFC.∠A=∠D，∠B=∠ED.∠A=∠D，BC=EF第11页（共14页）7.(湖南省邵阳市)(3分)如图，点是上任意一点，，还应补充一个条件，才能推出.从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是()A.B.C.D.8.(广东省)(4分)已知等边三角形ABC的边长为，则ΔABC的周长是_______.9.（2010江苏无锡）如图,△ABC中,DE垂直平分AC交AB于E,∠A=30°,∠ACB=80°,则∠BCE=____°.10.（2010湖南郴州）如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则_____________度．11.（2010贵州毕节）三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是_____.12．(江苏省宿迁市)(4分)等腰三角形的两边长分别是和，则其周长为______.13．(江苏徐州巿)(3分)边长为a的正三角形的面积等于______.14．(沈阳市)(3分)已知中，，，的平分线交于点，则的度数为__________.第12页（共14页）15．(海南省)(3分)已知在△ABC和△A1B1C1中，AB=A1B1，∠A=∠A1，要使△ABC≌△A1B1C1，还需添加一个条件，这个条件可以是_________.16．(湖北省黄冈市)(3分)如图，和都是边长为2的等边三角形，点在同一条直线上，连接，则的长为_________.17．(湖南省邵阳市)(3分)如图，已知中，，平分,点为的中点,请你写出一个正确的结论：__________.18．(佳木斯市)(3分)如图，，请你添加一个条件：__________，使(只添一个即可).19.（2010四川凉山）已知三角形两边长是方程的两个跟,则三角形的第三边的取值范围是________。20．(山东省日照市)(4分)如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；第13页（共14页）④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的有______________(把你认为正确的序号都填上).21．(新疆)(8分)如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AD是△ABC的角平分线，∠1=∠B.求证：AB=AC+CD.22．(新疆乌鲁木齐市)(7分)在一次数学课上，王老师在黑板上画出图，并写下了四个等式：①，②，③，④.要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出是等腰三角形.请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由.(写出一种即可)已知：求证：是等腰三角形.证明：23．(陕西省)(6分)已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B.求证：△ABC≌△CDE