2016年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案

12016年湖南省普通高中学业水平考试试卷数学本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分100分。一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.图1是某圆柱的直观图，则其正视图是A．三角形B．梯形C．矩形D．圆2.函数cos,yxxR的最小正周期是A．2B．C．2D．43.函数()21fxx的零点为A．2B．12C．12D．24.执行如图2所示的程序框图，若输入a,b分别为4,3，则输出的SA．7B．8C．10D．125.已知集合{|13},{|25}MxxNxx，则MNA．{|12}xxB．{|35}xxC．{|23}xxD．6.已知不等式组4,0,0xyxy表示的平面区域为，则下列坐标对应的点落在区域内2的是A．(1,1)B．(3,1)C．(0,5)D．(5,1)7.已知向量(1,)am，(3,1)b，若ab，则mA．3B．1C．1D．38.已知函数()yxxa的图象如图3所示，则不等式()0xxa的解集为A．{|02}xxB．{|02}xxC．{|0xx或2}xD．{|0xx或2}x9.已知两直线20xy和30xy的交点为M，则以点M为圆心，半径长为1的圆的方程是A．22(1)(2)1xyB．22(1)(2)1xyC．22(2)(1)1xyD．22(2)(1)1xy10.某社区有300户居民，为了解该社区居民的用水情况，从中随机抽取一部分住户某年每月的用水量(单位：t)进行分析，得到这些住户月均用水量的频率分布直方图（如图4），由此可以估计该社区居民月均用水量在[4,6)的住户数为A．50B．80C．120D．150二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分2，0分.11.若sin5cos，则tan____________.12.已知直线1:320lxy，2:10lmxy.若12//ll，则m________.313.已知幂函数yx（为常数）的图象经过点(4,2)A，则________.14.在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc.若2a，3b，1cos4C，则c_______.15.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此收集若干数据，并对数据进行分析，得到加工时间(min)y与零件数x（个）的回归方程为0.6751yx.由此可以预测，当零件数为100个时，加工时间为__________.三、解答题：本大题共5小题，满分40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分6分)从一个装有3个红球123,,AAA和2个白球12,BB的盒子中，随机取出2个球.（1）用球的标号列出所有可能的取出结果；（2）求取出的2个球都是红球的概率.17.(本小题满分8分)已知函数2()(sincos),fxxxxR.（1）求()4f的值；（2）求()fx的最小值，并写出()fx取最小值时自变量x的集合.418.(本小题满分8分)已知等差数列{}na的公差2d，且126aa.（1）求1a及na；（2）若等比数列{}nb满足11ba，22ba，求数列{}nnab的前n项的和nS.19.(本小题满分8分)如图5，四棱锥PABCD的底面是边长为2的菱形，PD底面ABCD.（1）求证：AC平面PBD；（2）若2PD，直线PB与平面ABCD所成的角为45，求四棱锥PABCD的体积.20.(本小题满分10分)已知函数()logafxx(0a，且1a)，且(3)1f.(1)求a的值，并写出函数()fx的定义域；(2)设()(1)(1)gxfxfx，判断()gx的奇偶性，并说明理由；(3)若不等式(4)(2)xxftft对任意[1,2]x恒成立，求实数的取值范围.52016年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题(每小题4分，满分40分)1.C2.A3.B4.D5.C6.A7.A8.B9.D10.C二、填空题(每小题4分，满分20分)11.512.313.1214.415.118三、解答题(满分40分)16.【解析】(1)所有可能的取出结果共有10个：12AA，13AA，11AB，12AB，23AA，21AB，22AB，31AB，32AB，12BB.……3分（2）取出的2个球都是红球的基本事件共有3个：12AA，13AA，23AA.所以，取出的2个球都是红球的概率为310.……6分17.【解析】()12sincos1sin2fxxxx.(1)()1sin242f.……4分(2)当sin21x时，()fx的最小值为0，此时222xk，即()4xkkZ.所以()fx取最小值时x的集合为{|,}4xxkkZ.……8分18.【解析】(1)由126aa，得126ad.又2d，所以12a，…2分故22(1)2nann.……4分(2)依题意，得122,24bbq，即2q，所以2nnb.于是22nnnabn.故2(242)(222)nnSn2122.nnn………8分19.【解析】(1)因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.又因为PD底面ABCD，AC平面ABCD，所以PDAC.故AC平面PBD.……4分(2)因为PD底面ABCD，所以PBD是直线PB与平面ABCD所成的角.于是45PBD，因此2BDPD，又2ABAD，所以菱形ABCD的面积为sin6023.SABAD故四棱锥PABCD的体积143.33VSPD……8分20.【解析】(1)由(3)1f，得log31a，所以3a.……2分6函数3()logfxx的定义域为(0,).……4分(2)33()log(1)log(1)gxxx，定义域为(1,1).因为33()log(1)log(1)()gxxxgx，所以()gx是奇函数.……7分(3)因为函数3()logfxx在(0,)上是增函数，所以.不等式(4)(2)xxftft对任意[1,2]x恒成立，等价于不等式组40,()20,()42.()xxxxtitiittiii对任意[1,2]x恒成立.由()i得0t；由()ii得2xt，依题意得2t；由()iii得2114122xxxxt.令2xu，则[2,4]u.易知1yuu在区间[2,4]上是增函数，所以1yuu在区间[2,4]上的最小值为52，故1122xx的最大值为25，依题意，得25t.综上所述，t的取值范围为225t.……10分