《函数的奇偶性》课件

2.1.4函数的奇偶性引例：问题１：画出函数f(x)=x2的图象，并求f(-2),f(2),f(-3),f(3)值．解:f(-2)=(-2)2=4f(2)=２２＝4f(-３)=(-３)2=９f(３)=３2=９f(-2)=f(2)f(-３)=f(３)xyo－３－２２３问题２：对于定义域内的任意x是否存在一个-x，使f(x)=x2满足f(-x)=f(x)结论呢？思考:通过练习,同学们发现了什么规律?偶函数定义:设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-xD,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫偶函数.解:g(-2)=(-2)3=-8g(2)=8g(-1)=(-1)3=-1g(1)=1g(-x)=(-x)3=-x3思考:通过练习,同学们发现了什么规律?g(-2)=-g(2)g(-1)=-g(1)g(-x)=-g(x)-xg(-x)xg(x)xyo(-x,-y)(x,y)问题３.已知g(x)=x3,画出它的图象,并求出g(-2),g(2),g(-1),g(1)及g(-x)奇函数定义:设函数y=g(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-xD,且g(-x)=-g(x),那么函数g(x)就叫做奇函数.☆对奇函数、偶函数定义的说明:(1).函数具有奇偶性的前提条件是：定义域关于原点对称。[a,b][-b,-a]xo(2)如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。问题４：(1)定义在［-2,7］上的函数f(x)=x2是否是偶函数？为什么？(2)定义在［-2,2］上的函数f(x)=x2是否是偶函数？为什么？练习1.说出下列函数的奇偶性:偶函数奇函数奇函数奇函数①f(x)=x4________④f(x)=x-1__________②f(x)=x________奇函数⑤f(x)=x-2__________偶函数③f(x)=x5__________⑥f(x)=x-3_______________说明：对于形如f(x)=xn的函数，若n为偶数，则它为偶函数。若n为奇数，则它为奇函数。例1：判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x3+2x(2)f(x)=2x4+3x2解:∵f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x)即f(-x)=-f(x)∴f(x)为奇函数∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2∴f(x)为偶函数定义域为R解:定义域为R即f(-x)=f(x)⑴先求定义域，看是否关于原点对称;☆说明：用定义判断函数奇偶性的步骤:⑵再判断f(－x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立。练习2.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x-1x(3)f(x)=5(2)f(x)=x2+2，x∈[-4,4)，若x∈（-4,4）呢？(4)f(x)=022(5)f(x)x11x既是奇函数又是偶函数非奇非偶偶函数奇函数练：课本P49，练习A1奇函数的图象(如y=x3)偶函数的图象(如y=x2)yxoaaP/(-a,f(-a))p(a,f(a))-ayxoaP/(-a,f(-a))p(a,f(a))-a(-a,-f(a))(-a,f(a))奇偶函数图象的性质:⑴奇函数的图象关于原点对称.反之,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数.⑵偶函数的图象关于y轴对称.反之,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.注：奇偶函数图象的性质可用于：①.简化函数图象的画法。②.判断函数的奇偶性。oyx例2已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在y轴左边的图象。解：画法略例3、研究函数的性质并作出它的图像解：已知函数的定义域是x≠0的实数集，即｛x∈R|x≠0｝分析略：请一位同学一边分析，一边画出函数图像来！x…-3-2-1…0…123…y…14…不存在…41…21-2191414191由图像可以看出这个函数的单调区间是什么？本课小结:1.两个定义:对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(-x)=-f(x)f(x)为奇函数。如果都有f(-x)=f(x)f(x)为偶函数。2.两个性质:一个函数为奇函数它的图象关于原点对称。一个函数为偶函数它的图象关于y轴对称。作业：课本P49练习Ａ2、3、4、5思考题:2.设y=f(x)为R上的任一函数,判断下列函数的奇偶性:(1).F(x)=f(x)+f(-x)(2).F(x)=f(x)-f(-x)1.已知y=f(x)是偶函数，且在(-∞，0）上是增函数，则y=f(x)在(0,∞)上是（）A.增函数B.减函数C.非单调函数D.单调性不确定3.具备下列条件之一的函数f(x)的奇偶性如何?(1)f(x)+f(-x)=0(2)f(x)-f(-x)=0B偶奇偶函数奇函数