1.6微积分基本定理

1.6微积分基本定理0121nnaxxxxxb],[1iiixx任取niixf1)(做和式：1lim()()/(ninifbanA且有，常数）一、复习：1、定积分是怎样定义？设函数f（x）在[a，b]上连续，在[a，b]中任意插入n-1个分点：把区间[a,b]等分成n个小区间，],[1iixx在每个小区间./))((1nabfniibadxxf)(则，这个常数A称为f(x)在[a，b]上的定积分(简称积分)记作：n1A()lim()b-a)/nbiaifxdxfn即（xfSii)(被积函数被积表达式积分变量积分区间],[ba积分上限积分下限n1A()lim()b-a)/nbiaifxdxfn即（积分和1）如果函数f（x）在[a，b]上连续且f（x）≥0时，那么：定积分就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积。badxxf)(2）定积分的数值在几何上都可以用曲边梯形面积的代数和来表示。badxxf)(1S2S3S321SSSdxxfba)(2、定积分的几何意义是什么？abyx1A2A3A4A5A()dbafxx各部分面积的代数和12345AAAAA定积分的简单性质(1)()()()bbaakfxdxkfxdxk为常数1212(2)[()()]()()bbbaaafxfxdxfxdxfxdx(3)()()()(acb)bcbaacfxdxfxdxfxdx基本初等函数的导数公式11.(),'()0;2.(),'();3.()sin,'()cos;4.()cos,'()sin;5.(),'()ln(0);6.(),'();17.()log,'()(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaaafxefxefxxfxaaxa公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln,'();fxxfxx则,1,.,,211033dxxdxxxxf例如分对于有些定积却比较麻烦的值计算但直接用定积分的定义非常简单虽然被积函数现从前面的学习中可以发.dxx121定义计算请你尝试利用定积分几乎不可能.??,,?,.和定积分的联系我们先来探究一下导数呢利用这种联系求定积分我们能否内在的联系呢这两个概念之间有没有导数和定积分的概念中两个最基本和最重要学我们已经学习了微积分另外方法求定积分呢加简便、有效的有没有更那么直接用定义计算?Stvts,Sb,atstvt,.tss,16.1'吗表示、你能分别用内的位移为设这个物体在时间段的速度时刻它在任意由导数的概念可知运动规律是物体的一个作变速直线运动的如图探究0ta1t1itit1ntntbBA1h1hihihnhnSΔiSΔ1SΔtssStSo16.1图.Stv,,来求位移由我们还可以利用定积分另一方面.asbsS,atbttssS,即处的函数值之差处与在是函数物体的位移显然①.nabtttΔ,t,t,t,t,t,t,t,t:nb,abttttta1iin1ni1i2110ni1i10每个小区间的长度均为个小区间等分成将区间用分点11''111,,,,,.iiiiiiiitttvtvtbaShvttsttstn当很小时在上的变化很小可以认为物体近似地以速度作匀速运动物体所作的位移②PDCots1itsitsiSΔihtΔ1itittss26.1图.tΔtstΔDPCtanhSΔ,tsPD,,PPD,Pttss,26.11i'ii1i'1i于是的斜率等于切线导数的几何意义知由点处的切线是点为对应的上与设曲线图从几何意义上看n1iin1iihSΔS,16.1可得物体总位移结合图.tΔtstΔtv1in1i'n1i1i,b,a,tΔ,n,的分划就越细区间越小即越大显然1in1in1in1i'n1i1itvnablimS.StΔtstΔtV由定积分的定义有的近似程度就越好与1i'n1intsnablim.dttsdttvba'ba.asbsdttsdttvSba'ba有结合①',,,.sstvtstabsbsa上式表明如果作变速直线运动的物体的运动规律是那么在区间上的定积分就是物体的位移微积分基本定理：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F’(x)＝f（x)，则，baaFbFxxf)()(d)(这个结论叫微积分基本定理（fundamentaltheoremofcalculus)，又叫牛顿－莱布尼茨公式（Newton-LeibnizFormula).).()()(d)(aFbFxFxxfbaba或记作微积分基本定理表明：一个连续函数在区间],[ba上的定积分等于它的任意一个原函数在区间],[ba上的增量.注意:1.当ba时，)()()(aFbFdxxfba仍成立.2.若()(),()()FxfxFxfx则称为的一个原函数求定积分问题转化为求原函数的问题.牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的关系．说明：牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题。.dxx1x22;dxx11:131221计算下列定积分例,x1xln1'因为解2121|xlndxx1所以.2ln1ln2ln,x1x1,x2x22''2因为dxx1xdx2dxx1x23123131231312x1|x.32213119()()|()()bbaafxdxFxFbFa找出f(x)的原函数是关键练习1:____4____3____2____112131031010dxxdxxxdxdx1214141511nbnbaaxxdxn公式：.xdxsin,dxxsin,dxxsin:2π20π2ππ0计算下列定积分例π0π0'|xcosdxxsin,xsinxcos因为解;20cosπcosπ2ππ2π|xcosdxxsin;2πcosπ2cosπ20π2|xcosdxxsin0.00cosπ2cos:0,还可能是也可能取负值定积分的值可能取正值可以发现;,),36.1(x1且等于曲边梯形的面积定积分的值取正值图轴上方时当对应的曲边梯形位于.,),46.1(x2反数的相且等于曲边梯形的面积定积分的值取负值图轴下方时当对应的曲边梯形位于oxyππ211xsiny36.1图oxy11ππ2xsiny46.1图.xx),56.1(0,xx3轴下方的曲边梯形面积边梯形的面积减去位于轴上方的曲且等于位于图定积分的值为时积形面梯曲边下方的轴梯形的面积等于位于轴上方的曲边当位于.,,,,.,成果分中最重要、最辉煌的微积分基本定理是微积可以毫无夸张地说科学远的成为一门影响深来使微积分学蓬勃发展起它分学中最重要的定理微积分基本定理是微积积分的一种方法同时它也提供了计算定在联系积分之间的内和定导数微积分基本定理揭示了oxy11ππ2xsiny56.1图练习2：___14___1233___12___2312121221102dxedxxxdxxxdttx12ln23912ee微积分基本定理：)()()(aFbFdxxfba三、小结banbannxdxx121：公式abxdxxbabalnlnln11：公式|bacx11|1nbaxn++cos|bax-sin|bax定积分公式'6)()xxbxaedxee'7)()lnaxbxxadxaaa'15)(ln)1baxxdxx'1)()bacxccdx'12)bnnnaxnxdxx'3)(sin)coscosbaxdxxx'4)(cos)sinsinbaxdxxxln|||bax|xbae|lnxbaaa