有关折叠的初中数学综合体

有关折叠的综合题透过现象看本质长兴实验初中宋煜滨(2009年江苏省)（1）观察与发现小明将三角形纸片ABC沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到⊿AEF（如图②）．小明认为是⊿AEF等腰三角形，你同意吗？请说明理由（2）实践与运用将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中的大小．D（2009年义乌）如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。（1）当时x=0，折痕EF的长为_____；当点E与点A重合时，折痕EF的长为_____；（2）请写出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出当x=2时菱形的边长；（3）令，当点E在AD、点F在BC上时，写出y与x的函数关系式。当y取最大值时，判断⊿EAP与⊿PBF是否相似？若相似，求出x的值；若不相似，请说明理由。2yEFABCD图（1）ABCDEFMN1.翻折后得到关键点重合2.翻折后得到图形重合我们把翻折问题分为两类：ABCDFE☞透过现象看本质:折叠轴对称实质轴对称性质：ADEF1.图形的全等性：2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分.由折叠可得：1.△AFE≌△ADE2.AE是DF的中垂线角度线段长翻折全等相等的边，相等的角求角：(2009年江苏省)（1）观察与发现小明将三角形纸片ABC沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到⊿AEF（如图②）．小明认为是⊿AEF等腰三角形，你同意吗？请说明理由求角：关键是找出折痕，得到关系。（2）实践与运用将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中的大小．D求角：关键是找出折痕，得到关系。求角：关键是找出折痕，得到关系。06湖州中考已知如图，矩形OABC的长为，宽OC为1，将⊿AOC沿AC翻折得⊿APC．3（1）填空：∠PCB=____度，P点坐标为（，）；（2）若P，A两点在抛物线y=x2+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；（3）在（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由.yxCPDBAO求角：关键是找出折痕，得到关系。EF34如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，AD=10cm，求EC的长.ABCDFE810106x48-x折叠问题中构造方程的方法：(1)用相似等到方程(2)把条件集中到一Rt△中，根据勾股定理得方程求线段长08湖州24（3）：已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=3．分别以OB,OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B,C重合），过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E．请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．(0)kykxNM(4,)4k（,3）3k34k43k求线段长：折叠问题中构造方程的方法（1）相似（2）勾股定理折叠问题利用Rt△利用∽方程思想轴对称全等性对称性本质数学思想相等的边相等的角对称轴的垂直平分性求角线段长溯本求源（2009年浙江省绍兴市）浙教版七年级上册1.1认识三角形的合作学习溯本求源(浙教版八年级上册P36页第3题)将一张长方形纸片按图示方法折叠，得到的⊿ABC是等腰三角形.请说明理由ABC在一张长方形ABCD纸片中，AD＝25cm,AB＝20cm．现将这张纸片按如图示方式折叠，P，Q分别为AB，CD的中点，折痕为AE，求折痕AE的长。（浙教版九下P26题3）yxCPDBAOEF06湖州中考已知如图，矩形OABC的长为，宽OC为1，将⊿AOC沿AC翻折得⊿APC．3溯本求源ABCDEcc勾股定理的证明08湖州24（3）：溯本求源2、关键：（2）根据相似比得方程。（1）根据勾股定理得方程。3、数学方法：构造方程：折叠问题1、本质：轴对称（全等性，对称性）翻折全等相等的边，相等的角如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式及自变量t的取值范围；（2）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；第25题图APQBDCCAB（备用图）（3）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由．第25题图APQBDC07奉贤09绍兴