2013届高考理科数学总复习(第1轮)广西专版课件：11.2离散型随机变量的期望与方差(第2课时)

第十一章概率与统计第讲（第二课时）题型4求随机变量的方差1.已知离散型随机变量ξ的分布列为设η=2ξ+3，求Eη，Dη.ξ-101P121316解：因为所以点评：由随机变量的分布列直接按公式计算可求得方差.对相关的两个随机变量ξ、η，若满足一定关系式：η=aξ+b，则E(aξ+b)=aEξ+b，D(aξ+b)=a2Dξ(或Dξ=Eξ2-(Eξ)2).222111(1)126311111151013233369ED，，720234.39EEDD，某运动员投篮的命中率为p＝0.6.(1)求一次投篮时命中次数ξ的均值，方差；(2)求重复5次投篮时，命中次数η的均值与方差．解：(1)投篮一次，命中次数ξ的分布列为：ξ01P0.40.6则Eξ＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，Dξ＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.(2)重复5次投篮，命中次数η服从二项分布，即η～B(5,0.6)，故Eξ＝5×0.6＝3.Dξ＝5×0.6×0.4＝1.2.2.某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失.现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用.单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85.若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用，联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.(总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值)题型5期望在实际问题中的决策作用解：(1)不采取预防措施时，总费用即损失期望值为400×0.3=120(万元);(2)若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1-0.9=0.1，损失期望值为400×0.1=40(万元)，所以总费用为45+40=85(万元)；(3)若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1-0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60(万元)，所以总费用为30+60=90(万元);(4)若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75(万元)，发生突发事件的概率为(1-0.9)×(1-0.85)=0.015，损失期望值为400×0.015=6(万元)，所以总费用为75+6=81(万元).综上分析，选择联合采用甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.点评：从两种(或多种)随机实验事件方案中进行优选或决策，一般是比较它们的期望值，期望值大就是平均值大.春节期间，某鲜花店购进某种鲜花的进货价为每束2.5元，销售价为每束5元.若在春节期间没有售完，则节后以每束1.5元的价格处理.据往年有关资料统计，春节期间这种鲜花的需求量ξ(单位：束)服从下列分布：问该鲜花店在春节前应进货多少束鲜花为宜?ξ20304050P0.20.350.30.15解：依据题意，售出一束鲜花获利润2.5元，处理一束鲜花亏损1元.(1)若进货20束，因为P(ξ≥20)=1，所以利润的期望值E1=1×20×2.5=50(元).(2)若进货30束，如果只能售出20束，则利润为20×2.5-10×1=40(元);如果能售出30束，则利润为30×2.5=75(元).因为P(ξ=20)=0.2，P(ξ≥30)=0.8，所以利润的期望值E2=0.2×40+0.8×75=68(元).(3)若进货40束，则同理可得利润的期望值E3=0.2×(20×2.5-20×1)+0.35×(30×2.5-10×1)+0.45×40×2.5=73.75(元).(4)若进货50束，则利润的期望值E4=0.2×(20×2.5-30×1)+0.35×(30×2.5-20×1)+0.3×(40×2.5-10×1)+0.15×50×2.5=69(元).因为E3最大，故该鲜花店春节前进货40束鲜花为宜.3.某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C与产量q的函数关系式为该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情形，各种情形发生的概率及产品价格p与产量q的函数关系式如下表所示：题型6期望与函数的综合应用3232010(0).3qCqqq＞市场情形概率价格p与产量q的函数关系式好0.4p=164-3q中0.4p=101-3q差0.2p=70-3q设L1、L2、L3分别表示市场情形好、中、差时的利润，随机变量ξq表示当产量为q而市场前景无法确定时的利润.(1)分别求利润L1、L2、L3与产量q的函数关系式；(2)当产量q确定时，求期望Eξq;(3)试问产量q取何值时，Eξq取得最大值.解：(1)由题意可得同理可得32131643(32010)314410(0).3qLqqqqqqq＞32338110(0)35010(0).3qLqqqLqq＞，＞(2)由期望的定义可知，(3)由(2)可知，Eξq是产量q的函数，设12333330.40.40.20.4144100.4(8110)330.2(5010)10010.33qELLLqqqqqqqq310010(0)3qqfqEqq＞，得f′(q)=-q2+100.令f′(q)=0，解得q=10或q=-10(舍去).由题意及问题的实际意义，当0＜q＜10时，f′(q)＞0;当q＞10时，f′(q)＜0可知，当q=10时，f(q)取得最大值，即Eξq最大时的产量q为10.点评：若随机变量中的概率含有参数，则其期望值可转化为含参变量的函数，利用函数的一些性质可进一步讨论期望的有关问题.小张有一只放有a个红球、b个黄球、c个白球的箱子，且a+b+c=6(a，b，c∈N)，小刘有一只放有3个红球、2个黄球、1个白球的箱子.两人各自从自己的箱子中任取一球，规定：当两球同色时小张胜，异色时小刘胜.(1)用a、b、c表示小张胜的概率；(2)若又规定当小张取红、黄、白球而胜的得分分别为1分、2分、3分，否则得0分，求小张得分的期望的最大值及此时a、b、c的值.解：(1)P(小张胜)=P(两人均取红球)+P(两人均取黄球)+P(两人均取白球)(2)设小张的得分为随机变量ξ，则32132.66666636abcabc12(3)(2)66663(1)6632(0)1()1.36cbPPaPabcPP张，，，小胜所以因为a，b，c∈N，a+b+c=6，所以b=6-a-c.当a=c=0，b=6时，Eξ最大，为.123323210(1)66666636334313636236cbaabcEabcbabcb，23有甲、乙两种钢筋，从中各抽取等量样品检查其抗拉强度指标，得如下分布列：甲：乙：题型产品质量的比较参考题参考题ξ110120125130135P0.10.20.40.10.2η100115125130145P0.10.20.40.10.2其中ξ、η分别表示甲、乙的抗拉强度，试比较甲、乙两种钢筋哪一种质量较好?解：因为Eξ=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125，Eη=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125，又Dξ=(110-125)2×0.1+(120-125)2×0.2+(125-125)2×0.4+(130-125)2×0.1+(135-125)2×0.2=50，Dη=(100-125)2×0.1+(115-125)2×0.2+(125-125)2×0.4+(130-125)2×0.1+(145-125)2×0.2=165.所以Eξ=Eη，Dξ＜Dη，这表明甲、乙两种钢筋的抗拉强度的平均水平一致，但甲的稳定性较乙的要好，故甲种钢筋的质量比乙种钢筋好.1.对离散型随机变量的方差应注意：(1)Dξ表示随机变量ξ对Eξ的平均偏离程度，Dξ越大，表明平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散；反之Dξ越小，ξ的取值越集中，在Eξ附近.统计中常用Dξ来描述ξ的分散程度.(2)Dξ与Eξ一样也是一个实数，由ξ的分布列唯一确定.2.分布列、期望、方差常与应用问题结合，对此首先必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出分布列，然后按定义求期望、方差等.3.若ξ～B(n，p)，可以利用公式Eξ=np，Dξ=np(1-p)直接计算.4.对某些与随机变量有关的实际应用问题，常转化为期望和方差问题，通过对期望或方差的比较，确定问题的解答结果，同时注意运用分类讨论的数学思想，把问题分解为n个小问题来解决，从而降低解题难度.