第二十一章21.3实际问题与一元二次方程

栏目索引21.3实际问题与一元二次方程第二十一章二元一次方程初中数学（人教版）九年级上册栏目索引21.3实际问题与一元二次方程1.列一元二次方程解应用题的一般步骤列一元二次方程解应用题的一般步骤审读懂题目,弄清题意,明确已知量、未知量,以及它们之间的关系设设出未知数列找出相等关系,列出方程解解方程,求出未知数的值验检验方程的解是否符合实际意义答写出答案知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤及常见问题栏目索引21.3实际问题与一元二次方程2.常见实际问题的数量关系、相等关系常见题型常用数量关系、相等关系数字问题若一个两位数十位、个位上的数字分别为a、b,则这个两位数表示为10a+b;若一个三位数百位、十位、个位上的数字分别为a、b、c,则这个三位数表示为100a+10b+c单、双循环问题设参赛队伍有n个队,则单循环问题中总的比赛场数为 n(n-1);双循环问题中总的比赛场数为n(n-1)销售利润问题利润=售价-进价;利润率= = ;售价=进价×(1+利润率);总利润=总售价-总成本=单个利润×总销售量存款利息问题本息和=本金+利息;利息=本金×利率×存期12利润进价售价进价进价栏目索引21.3实际问题与一元二次方程例1(2018江苏盐城中考)一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利,该店采取了降价措施,在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.(1)若降价3元,则平均每天销售数量为件;(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为1200元?栏目索引21.3实际问题与一元二次方程解析(1)若降价3元,则平均每天销售数量为20+2×3=26件.故答案为26.(2)设每件商品降价x元时,该商店每天销售利润为1200元.根据题意得(40-x)(20+2x)=1200,整理,得x2-30x+200=0,解得x1=10,x2=20.∵要求每件盈利不少于25元,∴x=10.答:当每件商品降价10元时,该商店每天销售利润为1200元.易错警示解决此类问题时,要注意售价和销售数量都是变化的.栏目索引21.3实际问题与一元二次方程知识点二典型问题——传播问题常见传播问题细胞分裂、信息传播、储蓄收益等等量关系传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=第二轮传染后的总数例2(2018福建龙岩上杭月考)某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染,请用一元二次方程的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑,若病毒得不到有效控制,那么经过三轮感染后,被感染的电脑共有多少台？栏目索引21.3实际问题与一元二次方程解析设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑,则有1+x+(1+x)x=81,即(1+x)2=81,解得x1=8,x2=-10(不合题意,舍去),所以经过三轮感染后,被感染的电脑共有81+81×8=729台.答:每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑.经过三轮感染后,被感染的电脑共有729台.栏目索引21.3实际问题与一元二次方程知识点三典型问题——平均增长(或降低)率问题增长率问题设基数为a,平均增长率为x,则第一次增长后的值为a(1+x),两次增长后的值为a(1+x)2,依次类推,n次增长后的值为a(1+x)n降低率问题设基数为a,平均降低率为x,则第一次降低后的值为a(1-x),两次降低后的值为a(1-x)2,依次类推,n次降低后的值为a(1-x)n例3(2019河北保定安国期中)列一元二次方程解应用题.某公司今年1月份的纯利润是20万元,由于改进技术,生产成本逐月下降,3月份的纯利润是22.05万元.假设该公司2、3、4月每个月增长的利润率相同.(1)求每个月增长的利润率;(2)请你预测4月份该公司的纯利润是多少.栏目索引21.3实际问题与一元二次方程解析(1)设每个月增长的利润率为x,根据题意得20×(1+x)2=22.05,解得x1=0.05=5%,x2=-2.05(不合题意,舍去).答:每个月增长的利润率为5%.(2)22.05×(1+5%)=23.1525(万元).答:预测4月份该公司的纯利润为23.1525万元.方法归纳在平均增长(或降低)率的问题中,设基数为a,平均增长(或降低)率为x,增长(或降低)的次数为2,增长(或降低)后的量为b,则表达式为a(1+x)2=b(或a(1-x)2=b).栏目索引21.3实际问题与一元二次方程知识点四典型问题——几何图形面积问题例4(2015湖北襄阳中考)如图21-3-1,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12m的住房墙,另外三边用25m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门.所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80m2? 图21-3-1几何图形应用题,关键是将不规则图形分割或补形成规则图形,找出未知量与已知量的内在联系,然后根据面积公式列出方程.栏目索引21.3实际问题与一元二次方程解析设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为xm,则其邻边长为(26-2x)m.依题意,得x(26-2x)=80.化简,得x2-13x+40=0.解这个方程,得x1=5,x2=8.当x=5时,26-2x=1612(舍去);当x=8时,26-2x=1012.答:所建矩形猪舍的长为10m,宽为8m时,猪舍面积为80m2.注意解答题目时,由于门不占用建筑材料,故相当于三边的长度和为26m.栏目索引21.3实际问题与一元二次方程例1(2017山东菏泽中考)某玩具厂生产一种玩具,按照控制成本降价促销的原则,使生产的玩具能够及时售出,据市场调查:每个玩具按480元销售时,每天可销售160个;若销售单价每降低1元,每天可多售出2个,已知每个玩具的固定成本为360元,问这种玩具的销售单价为多少元时,厂家每天可获利润20000元?题型一市场营销中的利润问题栏目索引21.3实际问题与一元二次方程解析设这种玩具的销售单价为x元时,厂家每天可获利润20000元.由题意,得(x-360)[160+2(480-x)]=20000,整理,得x2-920x+211600=0,解得x1=x2=460.答:这种玩具的销售单价为460元时,厂家每天可获利润20000元.解题总结解答销售利润问题,要注意以下两点:(1)每天的总利润=每件产品的利润×每天销售产品的件数;(2)若单价降低,则销售量需加上每天增加的量;若单价提高,则销售量需减去每天减少的量.栏目索引21.3实际问题与一元二次方程题型二甬道问题例2(2019江苏泰州泰兴月考)如图21-3-2,有一块长为30m,宽为20m的矩形空地,按照规划将预留总面积为459m2的四个小矩形区域(阴影部分)种植花草,并在花草周围修建三条横向通道和三条纵向通道,各通道的宽度相等.求各通道的宽度. 图21-3-2栏目索引21.3实际问题与一元二次方程解析设各通道的宽度为xm,根据题意,得(30-3x)(20-3x)=459,整理,得3x2-50x+47=0,解得x1=1,x2= ,∵当x= 时,3x=3× =4720,不合题意,∴x= 舍去,∴x=1.答:各通道的宽度为1m.473473473473解题总结解决甬道问题,可以用平移的知识将分散的图形合并在一起,然后利用面积公式列出方程.栏目索引21.3实际问题与一元二次方程素养解读数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.数学建模过程主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、建立模型,确定参数、计算求解,检验结果、改进模型,最终解决实际问题.建立一元二次方程模型解决面积和增长(降低)率问题是常见的实际问题,销售问题也是现实生活中经常遇到的实际问题,同样可建立一元二次方程模型解答.销售中的一元二次方程栏目索引21.3实际问题与一元二次方程例(2017河南三门峡一模)全社会对空气污染问题越来越重视,空气净化器的销量也大增,商社电器从厂家购进了A、B两种型号的空气净化器,已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元,用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同.(1)求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元;(2)在销售过程中,A型空气净化器因为净化能力强、噪音小而更受消费者的欢迎.为了增大B型空气净化器的销量,商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售,经市场调查,当B型空气净化器的售价为1800元/台时,每天可卖出4台,在此基础上,售价每降低50元,每天将多售出1台,如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元,请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元?典例剖析栏目索引21.3实际问题与一元二次方程解析(1)设每台B型空气净化器为x元,则每台A型空气净化器为(x+300)元,由题意得 = ,解得x=1200,经检验x=1200是原方程的根且符合题意,则x+300=1500.答:每台B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元、1500元.(2)设B型空气净化器的售价为x元,根据题意得(x-1200) =3200,解得x=1600.答:商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元.6000x7500300x1800450x栏目索引21.3实际问题与一元二次方程素养呈现列方程解决实际问题时,认识方程模型是解题的关键.先审题,明确已知量、未知量,并通过表格、画图等方法寻找和发现数量关系、等量关系,再列出方程求解.(1)“总价已知,求进价”,则为分式方程,关系表如下:总价进价数量相等关系与方程A型7500元(x+300)元 用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同,有 = B型6000元x元 7500x3006000x7500x3006000x栏目索引21.3实际问题与一元二次方程(2)“销量随售价变化,总利润不变”,则为一元二次方程,关系图如下:栏目索引21.3实际问题与一元二次方程1.(2019广东深圳光明新区月考)从一块正方形木板上锯掉3m宽的长方形木条,剩下的面积是54m2,则原来这块木板的面积是 ()A.9m2B.64m2C.81m2D.121m2知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤及常见问题答案C设原来这块木板的边长为xm,则锯完后剩下的木板是长为xm,宽为(x-3)m的长方形,根据题意得x(x-3)=54,解得x1=9,x2=-6(不合题意,舍去),∴x2=92=81.故选C.栏目索引21.3实际问题与一元二次方程2.(2018四川宜宾期中)毕业之际,某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品,每两名同学都相互赠送一件礼品,礼品店共售出礼品30件,则该兴趣小组的人数为.答案6解析设该兴趣小组的人数为x.由题意得x(x-1)=30,解得x1=6,x2=-5(舍去).栏目索引21.3实际问题与一元二次方程3.(2019湖北武汉武昌期中)有两个人患了流感,经过两轮传染后总共有162人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了个人.知识点二典型问题——传播问题答案8解析设每轮传染中平均每人传染x个人,根据题意得2+2x+x(2+2x)=162,整理得x2+2x-80=0,解得x1=8,x2=-10(不合题意,舍去).栏目索引21.3实际问题与一元二次方程4.(2018四川眉山中考)我市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过连续两次下调后,决定以每平方米4860元的均价开盘销售,则平均每次下调的百分率是 ()A.8%B.9%C.10%D.11%知识点三典型问题——平均增长(或降低)率问题答案C设平均每次下调的百分率为x,由题意,得6000(1-x)2=4860,解得x1=0.1,x2=1.9(舍去).即平均每次下调的百分率为10%.故选C.栏目索引21.3实