含绝对值函数的综合问题一

1含绝对值函数综合问题一、含绝对值函数的最值1、含一个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性（1）()||fxx的图像是以原点为顶点的“V”字形图像；函数在顶点处取得最小值“(0)0f”，无最大值；在函数(,0],[0,)x；对称轴为：0x（2）()||(0)fxkxbk图像是以(,0)bk为顶点的“V”字形图像；在顶点取得最小值：“()0bfk”，无最大值；函数在(,],[,)bbxkk；对称轴为：bxk（3）函数()||(0)fxkxbk：0k时，函数是以(,0)b为顶点的“V”字形图像；函数在顶点取得最小值：“()0fb”，无最大值；函数在(,],[,)xbb；对称轴为：xb0k时，是以(,0)b为顶点的倒“V”字形图像，函数在顶点取得最大值：“()0fb”，无最小值；函数在(,],[,)xbb；对称轴为：xb2、含两个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性（1）函数()||||()fxxmxnmn的图像是以点(,),(,)AmnmBnnm为折点的“平底形”图像；在[,]xmn上的每点，函数都取得最小值nm，无最大值；函数在(,],[,)xmxn，在[,]xmn无单调性；对称轴为2mnx。（2）函数()||||fxxmxn：当mn时，()fx是以点(,),(,)AmnmBnmn为折点的“Z字形”函数图像；在(,]xn上的每点，函数都取得最大值mn，在[,)xm上的每点，函数都取得最小值nm；函数在[,]xnm，在(,]xn及[,)xm上无单调性；对称中心为(,0)2mn；当nm时，()fx是以点(,),(,)AmmnBnnm为折点的“反Z字形”函数图像；在(,]xm上的每点，函数都取得最小值mn，在[,)xn上的每点，函数都取得最大值nm；函数在[,]xmn，在(,]xn及[,)xm上无单调性；对称中心为(,0)2mn；（3）()||||()fxaxmbxnmn图像是以(,()),(,())AmfmBnfn为折点的折线。当0ab时，两端向上无限延伸，故最小值，最小值为min{(),()}fmfn；当0ab时，两端向下无限延伸，故最大值，最大值为{(),()}Maxfmfn；当0ab时，两端无限延伸且平行x轴，故既有最大值又有最小值，最大值为{(),()}Maxfmfn；最小值为min{(),()}fmfn。3、含多个绝对值的一次函数的最值、单调性函数1212()||||||(,,,)ninfxxaxaxaaRinNaaa设（1）若21()nkkN，则()fx的图像是以(,())kkafa为顶点的“V”字形图像（a）当且仅当kxa时，min1211221[()]|()()|kkkkfxaaaaaa(b)函数()fx在(,],[,)kkaa，若{}ia为等差数列，则图像关于kxa对称（2）若2()nkkN，则()fx的图像是以点11(,()),(,())kkkkAafaBafa为折点的“平底形”图像（a）当且仅当1[,]kkxaa，min12122[()]|()()|kkkkfxaaaaaa(b)函数()fx在1(,],[,)kkaa，在1[,]kkxaa无单调性。若{}ia为等差数列，则图像关于12kkaax对称这一结论从一次绝对值函数图像上了不难看出，当1xa及nxa时，图像是分别向左、右两边向上无限伸展的两条射线，中间各段在区间1[,](1,2,1)iiaain上均为线段．它们首尾相连形成折线形，在中间点或中间段处最低，此时函数有最小值．证明：当21()nkkN时，1221()||||||kfxxaxaxa，1221kaaa设由绝对值不等式性质得：121121211|||||()()|kkkxaxaxaxaaa，当且仅当121[,]kxaa时取“”222222222|||||()()|kkkxaxaxaxaaa，当且仅当222[,]kxaa时取“”21111||||kkkkxaxaaa，当且仅当11[,]kkxaa时取“”；||0kxa，当且仅当kxa时取“”；注意到：1122121[,][,][,]kkkkkkaaaaaaa，从而当且仅当kxa时，上述个式同时取等号，于是21122211()()()()()kkkkkfxfaaaaaaa1211221|()()|kkkkaaaaaa；当2()nkkN时，122()||||||kfxxaxaxa，122kaaa设由绝对值不等式性质得：121221|||||()()|kkkxaxaxaxaaa，当且仅当12[,]kxaa，时取“”221221212|||||()()|kkkxaxaxaxaaa，当且仅当221[,]kxaa，时取“”11||||kkkkxaxaaa，当且仅当1[,]kkxaa，时取“”；注意到：11212[,][,][,]kkkkkaaaaaa，从而当且仅当1[,]kkxaa时，上述各式同时取等号，于是12122()|()()|kkkkfxaaaaaa例题：1、已知函数()||fxaxb在(,1)x，求实数,ab的范围。2、已知函数()|||1|fxxax；（1）若()fx在(2,)x上为增函数，求实数a的范围。（2）若函数()fx图像关于2x对称，求实数a。3、已知函数()|(21)||1|fxxaxa；（1）若()fx在(1,3]x上存在反函数，求实数a的范围。（2）若()fx在(1,3]x上为增函数，求实数a的范围。（3）若()fx的图像关于3(,0)2对称，求实数a4、已知函数()|1||1|fxxx，若22(23)(23)faafaa，求实数a的范围5、已知函数axxxxf11)(；（1）若()fx的图像关于垂直于x轴的直线对称，求a的取值集合。（2）若()fx在(2,)x上为增函数，求实数a的范围。6、设函数()|1||2||2011||1||2|+|2011|fxxxxxxx()xR，且2(32)(1)faafa，求所有互异整数a的值的和。