01线性方程组有解的条件

第一节线性方程组有解的条件一、线性方程组有解的判定条件二、线性方程组的解法一、线性方程组有解的判定条件mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121111.线性方程组,)(ijaA系数矩阵为,21nxxxx,21nbbbb线性方程组可记为：bAx有解——相容线性方程组无解——不相容1)m=n时,A是n阶方阵,若|A|0,则可用克莱默法则求解,或用A的逆矩阵表示解.2)对一般的情况如何判定有没有解?有解时如何求解?bAx线性方程组的解．讨论线性方程组的秩，和增广矩阵利用系数矩阵bAxbABA),(1.非齐次线性方程组:mnnAxb定理1元非齐次线性方程组;,)()1bARAR无解的充要条件;,)()2nbARAR有唯一解的充要条件.,)()3nbARAR有无穷多解的充要条件有唯一解bAxnBRARnBRAR有无穷多解.bAx无解bAxBRAR()()AxbRARB定理2线性方程组有解的充分必要条件是0..mnnAxRAnRAn定理3元齐次线性方程组(1)有非零解的充要条件是(2)只有零解的充要条件是＝2.齐次方程方程组00.mnnAxmnAmn推论元齐次线性方程组(1)时，有非零解的充要条件是＝(2)时，必有非零解二、线性方程组的解法齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，再化成行最简形矩阵例1求解齐次线性方程组.0793083032054321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx为任意实数212413212211,,22723cccxcxccxccx000000002101012723例2求解齐次线性方程组.05105036302432143214321xxxxxxxxxxxx2431221102cxxcxccx000001001021为任意实数其中21,cc例3求解非齐次线性方程组.3222,2353,132432143214321xxxxxxxxxxxx200001045011321,3)(,2)(BRAR显然，故方程组无解．例4求解非齐次线性方程组052313222321321321xxxxxxxxx305321xxx310000105001例5求解非齐次方程组41022132324314214321xxxxxxxxxx000005721025101241321221157225cxcxccxccx为任意实数其中21,cc例6设有线性方程组23213213211xxxxxxxxx??,有无穷多个解有解取何值时问解21111111B1111111231~rr作初等行变换，对增广矩阵),(bAB22221110110111213~rrrr3222212001101123~rr2211210011101111111112,11时当000000001111~B.,3方程组有无穷多解BRAR其通解为23122111cxcxccx.,21为任意实数cc22112100111011~B,12时当22120011011~B这时又分两种情形：:,3,2)1方程组有唯一解时BRAR.21,21,212321xxx22112100111011~B.,故方程组无解BRAR,2)2时100021104211~B,12时当22120011011~B22112100111011~B定理4矩阵方程AX=B有解充要条件是R(A)=R(A,B).三、推广到矩阵方程定理5设AB=C,则R(C)≤min{R(A),R(B)}.定理6矩阵方程Am×nXn×l=O只有零解的充要条件是R(A)=n.lnnmlnnmCABAlnlnCBR(A)=nnBRARnBRAR有无穷多解.bAx非齐次线性方程组bAx齐次线性方程组0AxnAR;0只有零解AxnAR.0有非零解Ax四、小结;有唯一解bAx齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解.求解线性方程组步骤: