极坐标系练习题

第1页共4页第二节极坐标系一、选择题1．点P的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为()．A.2，π4B.2，3π4C.2，5π4D.2，7π4解析直接利用极坐标与直角坐标的互化公式．答案B2．已知A，B的极坐标分别是3，π4和－3，π12，则A和B之间的距离等于()．A.32＋62B.32－62C.36＋322D.36－322解析极坐标系中两点A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)的距离|AB|＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos（θ1－θ2）.答案C3．在极坐标系中，已知点P2，23π，若P的极角满足－πθπ，ρ∈R，则下列点中与点P重合的是()．A.2，π3，2，43π，－2，53πB.2，83π，2，43π，－2，53πC.－2，43π，－2，53π，2，－43πD.－2，－π3第2页共4页答案D4．已知点M的极坐标是－2，－π6，它关于直线θ＝π2的对称点坐标是()．A.2，11π6B.－2，7π6C.2，－π6D.－2，－11π6解析当ρ0时，我们找它的极角应按反向延长线上去找．描点－2，－π6时，先找到角－π6的终边．又因为ρ＝－20，所以再沿反向延长线上找到离极点2个单位的点即是点－2，－π6.直线θ＝π2，就是由极角为π2的那些点的集合．故M－2，－π6关于直线θ＝π2的对称点为M′2，π6，但是选择支没有这样的坐标．又因为M′2，π6的坐标还可以写成M′－2，7π6，故选B.答案B二、填空题5．在极坐标系中，已知点A1，34π，B2，π4，则A、B两点间的距离为________．解析利用极坐标系中两点间距离公式．答案56．已知点M的直角坐标为(－3，－33)，若ρ0，0≤θ2π，则点M的极坐标是________．答案6，43π7．在极坐标系中，已知点P3，π3，则点P在－2π≤θ2π，ρ∈R时的另外三种极坐标形式为__________．第3页共4页答案3，－53π，－3，43π，－3，－23π8．(极坐标意义的考查)极坐标系中，点A的极坐标是3，π6，则(1)点A关于极轴对称的点是________；(2)点A关于极点对称的点的极坐标是________；(3)点A关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是________．(规定ρ0，θ∈[0，2π))解析如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化．另外，我们要注意：极角是以x轴正向为始边，按照逆时针方向得到的．答案(1)3，11π6(2)3，7π6(3)3，5π6三、解答题9．(1)把点M的极坐标－5，π6化成直角坐标；(2)把点N的直角坐标(－3，－1)化成极坐标．解(1)x＝－5cosπ6＝－523，y＝－5sinπ6＝－52.∴点M的直角坐标是－523，－52.(2)ρ＝（－3）2＋（－1）2＝2，tanθ＝－1－3＝33.又∵点N在第三象限，ρ0.∴最小正角θ＝76π.故点N的极坐标是2，76π.10．(极坐标的应用)已知A、B两点的极坐标分别是2，π3，4，5π6，求A、B第4页共4页两点间的距离和△AOB的面积．解求两点间的距离可用如下公式：|AB|＝4＋16－2×2×4×cos5π6－π3＝20＝25.S△AOB＝12|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝122×4×sin5π6－π3＝12×2×4＝4.11．已知点Q(ρ，θ)，分别按下列条件求出点P的极坐标．(1)点P是点Q关于极点O的对称点；(2)点P是点Q关于直线θ＝π2的对称点．解(1)由于P、Q关于极点对称，得它们的极径|OP|＝|OQ|，极角相差(2k＋1)π(k∈Z)．所以，点P的极坐标为(ρ，(2k＋1)π＋θ)或(－ρ，2kπ＋θ)(k∈Z)．(2)由P、Q关于直线θ＝π2对称，得它们的极径|OP|＝|OQ|，点P的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2kπ(k∈Z)，所以点P的坐标为(ρ，(2k＋1)π－θ)或(－ρ，2kπ－θ)(k∈Z)．