刚体动力学.

第6章刚体动力学猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度的增加而减少，为什么会这样呢？§6.1力矩刚体绕定轴转动微分方程一.力矩力改变刚体的转动状态刚体获得角加速度力F对z轴的力矩hFrFFMτz)(力矩取决于力的大小、方向和作用点在刚体的定轴转动中，力矩只有两个指向••••质点获得加速度改变质点的运动状态rF//FnFFhFAz(1)力对点的力矩O.FrMO(2)力对定轴力矩的矢量形式力矩的方向由右螺旋法则确定FrMZ(3)力对任意点的力矩，在通过该点的任一轴上的投影，等于该力对该轴的力矩讨论FroMrF//FnFFhFAzxLOMy例已知棒长L,质量M，在摩擦系数为的桌面转动(如图)解xLMmddgmfdd根据力矩xgxLMMddMgLxgxLMML21d0xdxr'TTRMiTT'例如TR'TTRMiT'在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算•求摩擦力对y轴的力矩JMkJMJMz刚体的转动定律作用在刚体上所有的外力对定轴z轴的力矩的代数和刚体对z轴的转动惯量(1)M正比于，力矩越大，刚体的越大(2)力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同二.刚体对定轴的转动定律实验证明当M为零时，则刚体保持静止或匀速转动当存在M时，与M成正比，而与J成反比(3)与牛顿定律比较：amJFM,,讨论在国际单位中k=1OiriFif理论推证iiiiamfF取一质量元iiiiamfF切线方向iiiiiiiramrfrF对固定轴的力矩2iirm对所有质元)(2iiiiiirmrfrF合内力矩=0合外力矩M刚体的转动惯量J•im三.转动惯量2iirmJ定义式质量不连续分布质量连续分布mrJd2计算转动惯量的三个要素:(1)总质量(2)质量分布(3)转轴的位置(1)J与刚体的总质量有关例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量LzOxdxM2020231ddMLxLMxxxJLL木铁JJ•(2)J与质量分布有关例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量dlORLlRmRJπ20202dd23π202π2π2dmRRmRlRRmROmrdrrrsdπ2dsmddRmRmrrRmmrJ0232022d2drRmrrrRmd2dπ2π22ROLxdxMz20231dMLxxJLLOxdxM2222121dMLxxJ/L/L四.平行轴定理及垂直轴定理zLCMz'2MLJJz'zz(3)J与转轴的位置有关1.平行轴定理'zJzJL:刚体绕任意轴的转动惯量:刚体绕通过质心的轴:两轴间垂直距离2121ML/Jz22312MLLMJJZZ例均匀细棒的转动惯量2.(薄板)垂直轴定理yxzJJJzMLz例如求对圆盘的一条直径的转动惯量221mRJzyxzJJJyxJJ已知241mRJJyxyxz圆盘RCmx,y轴在薄板内；z轴垂直薄板。zxyFOr(1)飞轮的角加速度(2)如以重量P=98N的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速解(1)JFr2rad/s239502098...JFrmaTmg(2)JTrra两者区别五.转动定律的应用举例mgT例求一轻绳绕在半径r=20cm的飞轮边缘，在绳端施以F=98N的拉力，飞轮的转动惯量J=0.5kg·m2，飞轮与转轴间的摩擦不计，(见图)2mrJmgr22rad/s8212010502098....一根长为l，质量为m的均匀细直棒，可绕轴O在竖直平面内转动，初始时它在水平位置求它由此下摆角时的OlmCx解mxggmxMdd取一质元CmxmxdCmgxM重力对整个棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩dmcos21mglMlgmlmglJM2cos33cos212tωddddmgθωlg00d2cos3dlgsin3例圆盘以0在桌面上转动,受摩擦力而静止解rrsmd2πddmgrfrMdddmgRMMR32d0tJMddtmRmgRdd21322d43d000gRttgRt430例求到圆盘静止所需时间取一质元由转动定律摩擦力矩R例一个刚体系统，如图所示，已知，转动惯量231mlJ，现有一水平力作用于距轴为l'处求轴对棒的作用力（也称轴反力）。解设轴对棒的作用力为NyxNN,JFl'由质心运动定理2lmmaNFcxx022lmmamgNcyy)12'3('2llFFJFlmlNxmgNyl'l320xN打击中心质心运动定理与转动定律联用xNyNOCmg'lF质点系由转动定律§6.2绕定轴转动刚体的动能动能定理一.转动动能zOirivim设系统包括有N个质量元Nimmmm,......,,.......,,21Nirrrr.....,.....,,21Ni,......,......,,vvvv21,其动能为im221iikimEv2221iirm各质量元速度不同，但角速度相同2221iikikrmEE刚体的总动能2221iirm221JP•绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半结论取二.力矩的功OrF'rrdd功的定义sFAdcosddrFdcosFrdrF力矩作功的微分形式对一有限过程21dMA若M=C)(12MA(积分形式）dM力的累积过程——力矩的空间累积效应••.P三.转动动能定理——力矩功的效果)21d(2JddMAd)ddd(JtJ对于一有限过程2121)21d(d2JAA21222121JJkE绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的——动能定理(2)力矩的功就是力的功。(3)内力矩作功之和为零。讨论(1)合力矩的功iiiiiiAMMA2121dd刚体的机械能PKEEE刚体重力势能CmghJE221iipghmECiimghmhmmg刚体的机械能质心的势能刚体的机械能守恒C212CmghJ对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立••ch0PECimih例一根长为l，质量为m的均匀细直棒，可绕轴O在竖直平面内转动，初始时它在水平位置解cos21mglM00dcos2dmglMA由动能定理0212J0sin2lmglgsin32231mlJ21)sin3(/lg求它由此下摆角时的此题也可用机械能守恒定律方便求解OlmCxmg图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转动架上，转轴Z上装一半径为r的轻鼓轮，绳的一端缠绕在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为m的重物。重物下落时，由绳带动被测物体A绕Z轴转动。今测得重物由静止下落一段距离h，所用时间为t，例解01PE01kE22222/J/mEZkv)2()(222r/JmrZv分析（机械能）：mghEP2求物体A对Z轴的转动惯量Jz。设绳子不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴处的摩擦力矩忽略不计。)(2222ZJmrrmghv)(21dd2dd22ZJmrrtthmgvvatthddddvv，)12(22hgtmrJZ22222121tJmrmgrathZ常量ZJmrmgra22若滑轮质量不可忽略，怎样？0)2()(222r/JmrmghZv机械能守恒一.质点动量矩(角动量)定理和动量矩守恒定律1.质点的动量矩(对O点)vmrPrLO其大小sinsinvmrrpLO(1)质点的动量矩与质点的动量及位矢(取决于固定点的选择)有关特例：质点作圆周运动vmrrpL§6.3动量矩和动量矩守恒定律说明OLOrPS惯性参照系(2)当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点O的动量矩也称为质点对过O垂直于运动平面的轴的动量矩O'LO(3)质点对某点的动量矩,在通过该点的任意轴上的投影就等于质点对该轴的动量矩例一质点m，速度为v，如图所示，A、B、C分别为三个参考点,此时m相对三个点的距离分别为d1、d2、d3求此时刻质点对三个参考点的动量矩vmdLA1vmdLB10CLmd1d2d3ABCv解OLOrPSvmrttLddddvvmtrtmrddd)d(0vvmMFrtLMddLtMdd12d21LLtMtt(质点动量矩定理的积分形式)(质点动量矩定理的微分形式)质点所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩的增量2.质点的动量矩定理说明(1)冲量矩是质点动量矩变化的原因(2)质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果3.质点动量矩守恒定律常矢量，则若LM0──质点动量矩守恒定律(2)通常对有心力：例如由动量矩守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律(1)动量矩守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，且在高速低速范围均适用tSmtrrm2sin212sinsinrtrmrmLv讨论Sdmrrd行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积F过O点,M=0,动量矩守恒当飞船静止于空间距行星中心4R时，以速度v0发射一求θ角及着陆滑行的初速度多大？mRMO0v0rv解引力场（有心力）质点的动量矩守恒系统的机械能守恒Rmsrmvvin00RGMmmrGMmm20202121vvsin4sin000vvvRr21200231/RGMvvv212023141sin/RGMv例发射一宇宙飞船去考察一质量为M、半径为R的行星，质量为m的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面二.质点系的动量矩定理和动量矩守恒定律质点系对参考点O的动量矩就是质点系所有质点对同一参考点的动量矩的矢量和iiiiiOOmrLLivCv记质点系质心C的位置矢量为Cr，速度为。对第i个质i'v，则i'r点，设其相对于质心的位置矢量为，速度为iCi'vvviCi'rrriiiCOmrrLv'iiCmrviCiim'r'vv1.质点系的动量矩CCMrviiiCiim'r'rm'vviiiCCm'rMr'vviiiCCOm'rMrL'vv(1)质点系的动量矩(角动量)可分为两项第一项：只包含系统的总质量、质心的位矢和质心的速度——轨道角动量第二项：是质点系各质点相对于质心的角动量的矢量和——自旋角动量自旋轨道LLLOCCMrLv轨道iiim'rL'v自旋说明(2)质点系的轨道角动量等于质点系的全部质量集中于质心处的一个质点对于参考点的角动量。它反映了整个质点系绕参考点的旋转运动(3)质点系的自旋角动量是以质心为参考点的角动量。与质心运动无关。它只代表系统的内禀性质2.质点系的动量矩定理外MtLddLtMdd外LLLLtMLLtt