解答-华南农业大学2013高等代数1期末试卷

1装订线2013学年第一学期高等代数Ⅰ(A卷)一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.下列关于多项式理论的说法中正确的是(C).A.零多项式整除任意多项式B.零多项式不整除零多项式C.零多项式只能整除零多项式D.零多项式的次数为零分析：任意多项式整除零多项式；零多项式只能整除零多项式；零多项式是唯一不定义次数的多项式2.设有n维向量组（I）：r,,,21和（II）：)(,,,21rmm，则(C).A.向量组（I）线性无关时，向量组（II）线性无关B.向量组（I）线性无关时，向量组（II）线性相关C.向量组（I）线性相关时，向量组（II）线性相关D.向量组（I）线性相关时，向量组（II）线性无关分析：部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关3.设A为nm矩阵，齐次线性方程组0Ax仅有零解的充要条件是(B).A.A的列向量线性相关B.A的列向量线性无关C.A的行向量线性相关D.A的行向量线性无关分析：齐次线性方程组0Ax仅有零=系数矩阵的秩未知数个数，即R(A)=nAn的个列向量无关4.设,AB为n级方阵，0A，且0AB，则有().A.0A或0BB.0BAC.222()ABABD.0B分析：矩阵乘法不满足交换律，消去律，即=BA=0B==ABABABACBC不一定成立；不一定得到A=0或0；不一定有，0=0=0ABABAB5.设A和B都是n级实对称矩阵,通过非退化线性替换能将实二次型12(,,,)TnfxxxXAXL化为实二次型12(,,,)TngyyyYBY的充分必要条件是(D).A.A与B具有相同的秩B.A与B具有相同的符号差C.A与B具有相同的正惯性指数2D.A与B具有相同的负惯性指数,并且A与B具有相同的符号差分析：非退化线性变换保证二次型的矩阵合同，即A与B合同，在实数域上相当于,ABp有相同的正惯性指标和秩r二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.设四级行列式D的第四列元素分别为1,0,2,3，且它们对应的余子式分别为2,3,1,2，则D=__________.注意：行列式按本行（列）展开的值为A，串行（列）展开的值为“0”内容见课本78页定理3.4+14+24+34+4=1-2+0--+-+-=2D按第四列元展开（1）（1）（3）2（1）13（1）2，展开需用代数余子式。2.设向量组123(,1,1),(0,2,3),(1,0,1)k线性相关，则k21注意：这时123，，为行构成的行列式为零，即110230101kk213.设A为n级方阵,且满足2240AAE,这里E表示n级单位矩阵,那么1A24AE分析：22240(2)44AEAAEAAEEAE4.已知矩阵方程100021(1,2,3)011X,则X＝(1,1,4).分析：-1100=(1,2,3)021=011X(1,1,4)5.若222,,2332fxyzxyzyz是正定二次型，则的取值范围33.3装订线三、判别题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）（请在你认为正确的小题对应的括号内打“√”，否则打“”）1.（√）有理数域为最小的数域.2.（）设,AB是两个n级方阵，则ABBA.注意：行列式只有乘积公式ABAB，无所谓的加法，减法公式3.（）若两个向量组等价，则它们所包含的向量的个数相同.注意：两个向量组A,B等价BBAA组每个向量可以有组表示，组每个向量可以有组表示4.（）若矩阵A的所有1r级子式全为零，则A的秩为r.注意：A的秩为rA至少有一个r级子式不为零，所有1r级子式全为零5.（√）合同变换不改变实矩阵的对称性和正定性.四、解答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）1.设43232()421659,()254,fxxxxxgxxxx求(),()fxgx.解用辗转相除法，得得分211()33qxx32()254gxxxx3223xxx432()421659fxxxxx43242108xxxx12()xqx2224xx223xx21()639rxxx266xx369()xqx2()1rxx99x99x0（6分）1.5CM1.5CM4所以，(),()1fxgxx.（7分）2.计算行列式1111111111111111xxxx.解：行列式特点：每一行的和相等为x，1111111111111111xxxx1111111(2,3,4)111111ixxxxccixxx（2分）21314111111111111100=1111001111000rrrrrrxxxxxxxxxxx（5分）43211110000000xxxrrxxxxx.（7分）3.求向量组1234(2,1,3,1),(3,1,2,0),(1,3,4,2),(4,3,1,1)的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.解将向量按列排成矩阵A，并对它作等行变换化为行最简形矩阵.213112412323141133113323143241324110211021rrrrrrrrA212324215511331133102105510011201120551000000000011200000000rrrrrrr最简形（4分）所以,1234{,,,}2R，12,是所求的一个极大无关组，（6分）5装订线且312412=2-,=-+2.（7分）注意：“求极大无关组，并将极大无关组以外的向量用极大无关组线性表示”，这种题目的解题步骤：将向量按列排成矩阵A，对A作等行变换化为行最简形矩阵，再根据最简形矩阵下结论.4.讨论k取何值时，线性方程组12312321231,21,xxkxxxxxkxxk(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解，并求出此方程组的通解.解对增广矩阵作行变换化为阶梯形.21312211111111210220110111rrrrkkAkkkkkk323122111022000(1)(4)2(1)(1)krrrkkkkkk阶梯形（2分）(1)当1k且4k时，()()3,RARAn方程组有唯一解；(2)当4k时，()2,()3,()()RARARARA，方程组无解;(3)当1k时，()()23,RARAn方程组有无穷多个解.（5分）此时11012301020000A最简型，得一般解13233311232xxxxxx(3x为自由未知量)，令3,xk得通解为612312110,202xxkxk为任意常数.（7分）注意：此题和12年四（3），11年四（3）为同类型题。13年和11年答案是同一种做法；12年是一种做法。5.作非退化线性替换XCY化实二次型221231223(,,)4fxxxxxxx为规范形.解二次型的矩阵为100012020A(1)分3323231+221c+2c2100100100012010010020004001对角矩阵rrrCA3231c+2c21001001000100120110010011002CE可逆矩阵C作非退化线性变换XCY，（6分）得所求实二次型的规范形为222123123(,,)-+fxxxyyy.（7分）说明：化二次型为规范形的方法：A作相同的行,列变换，E作相同的列变换，当A化为对角元为“1，-1”的对角阵时，E化为“C”.五、证明题（本大题共4小题，共25分）1.（（本小题7分）证明：n维向量组12,,,n线性无关的充要条件是任一n维向量都可由12,,,n线性表出.1.5CM7装订线证明必要性.设12,,,n线性无关，对任一n维向量，因为12,,,,n是1n个n维向量，必线性相关，而12,,,n是线性无关的，故可由12,,,n线性表出.（4分）充分性.设任一n维向量都可由12,,,n线性表出，则单位向量组12,,,n可由12,,,n线性表出，又12,,,n可由12,,,n线性表出，所以向量组12,,,n与向量组12,,,n等价，故有相同的秩n，即12,,,n线性无关.（7分）2.（本小题6分）设A是n级方阵且0A，证明：存在一个非零矩阵B使得ABO.证明：由0A知，齐次线性方程组0AX有非零解1，（2分）作12(,,,)nB,其中2,,n均为零向量,则0B，（4分）于是AB1212(,,,),,,(0,0,,0)nnAAAAO（）=（6分）3.（本小题6分）设A是n级方阵且0A，B是nm矩阵，证明:RABRB.证明因为RABRB，（2分）又由0A知，方阵A可逆.所以11=BAABAAB，从而1()[]()RBRAABRAB，综合可知RABRB.另法证明：由0A知，方阵A可逆，再由课本180页定理4RABRB（与可逆矩阵相乘不改变矩阵的秩）4.（本小题6分）设1122,AOBOABOAOB.证明：如果1A与1B合同，2A与2B合同，则A与B合同.8证明由于1A与1B合同，2A与2B合同，存在可逆阵12,CC使得11112222,TTBCACBCAC，（2分）令12COCOC，则C可逆，且（3分）11111112222222TTTTCOAOCOBOCACOCACBOCOAOCOBOCAC，（5分）即A与B合同.（6分）