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7-4.排列.题库教师版page1of19知识框架图7计数综合7-4排列7-4-1排列的基本应用7-4-2捆绑法7-4-3排列的综合应用1.使学生正确理解排列的意义；2.了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；3.掌握排列的计算公式；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等．一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n个不同的元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做mnP．根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成：步骤1：从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法；步骤2：从剩下的(1n)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n)种方法；……步骤m：从剩下的[(1)]nm个元素中任取一个元素排在第m个位置，有11nmnm（）(种)方法；教学目标知识要点排列7-4.排列.题库教师版page2of19由乘法原理，从n个不同元素中取出m个元素的排列数是121nnnnm（）（）（），即12.1mnPnnnnm（）（）（），这里，mn，且等号右边从n开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m个因数相乘．二、排列数一般地，对于mn的情况，排列数公式变为12321nnPnnn（）（）．表示从n个不同元素中取n个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n个排列全部取出的排列，叫做n个不同元素的全排列．式子右边是从n开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n，读做n的阶乘，则nnP还可以写为：!nnPn，其中!12321nnnn（）（） ．模块一、排列的基本应用【例1】计算：⑴25P；⑵4377PP．（2级）【解析】由排列数公式12.1mnPnnnnm（）（）（）知：⑴255420P⑵477654840P,37765210P，所以4377840210630PP．【巩固】（难度等级※）计算：⑴23P；⑵32610PP．（2级）【解析】⑴23326P⑵326106541091209030PP．【巩固】（难度等级※）计算：⑴321414PP；⑵53633PP．（2级）【解析】⑴32141414131214132002PP；⑵536333(65432)3212154PP．【例2】有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？(照相时3人站成一排)（4级）【解析】由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置由这3人来站．由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转化成从四个人中选3人，排在3例题精讲7-4.排列.题库教师版page3of19个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法．由排列数公式，共可能有：3443224P(种)不同的拍照情况．也可以把照相的人看成一个位置，那么共可能有：44432124P(种)不同的拍照情况．【巩固】4名同学到照相馆照相．他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？（4级）【解析】4个人到照相馆照相，那么4个人要分坐在四个不同的位置上．所以这是一个从4个元素中选4个，排成一列的问题．这时4n，4m．由排列数公式知，共有44432124P(种)不同的排法．【巩固】9名同学站成两排照相，前排4人，后排5人，共有多少种站法？（4级）【解析】如果问题是9名同学站成一排照相，则是9个元素的全排列的问题，有99P种不同站法．而问题中，9个人要站成两排，这时可以这么想，把9个人排成一排后，左边4个人站在前排，右边5个人站在后排，所以实质上，还是9个人站9个位置的全排列问题．方法一：由全排列公式，共有99987654321362880P(种)不同的排法．方法二：根据乘法原理,先排四前个，再排后五个．4595987654321362880pp【巩固】5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？（4级）【解析】由于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列问题，且4n．由全排列公式，共有44432124P(种)不同的站法．【巩固】丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福”，5人并排站成一排，奶奶要站在正中间，有多少种不同的站法？（4级）【解析】由于奶奶必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列问题，且n=4．由全排列公式，共有44432124P(种)不同的站法．【例3】一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠14个车站(包括北京和上海)，这条铁路线共需要多少种不同的车票．（4级）【解析】2141413182P(种)．【例4】班集体中选出了5名班委，他们要分别担任班长，学习委员、生活委员、宣传委员和体育委员．问：有多少种不同的分工方式？（4级）7-4.排列.题库教师版page4of19【解析】55120P(种)．【例5】有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？（4级）【解析】这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素，三面小旗表示一种信号，就是有三个位置．我们的问题就是要从五个不同的元素中取三个，排在三个位置的问题．由于信号不仅与旗子的颜色有关，而且与不同旗子所在的位置有关，所以是排列问题，且其中5n，3m．由排列数公式知，共可组成3554360P(种)不同的信号．【巩固】有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号，问共可以组成多少种不同的信号？（4级）【解析】23326P．【巩固】在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号．如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同的信号？（4级）【解析】方法一：这里三面不同颜色的旗子就是三个不同的元素，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号，也就是从三个元素中选三个的全排列的问题．由排列数公式，共可以组成333216P(种)不同的信号．方法二：首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有3种方法；其次，确定中间位置的旗子，当最高位置确定之后，中间位置的旗子只能从余下的两面旗中去取，有2种方法．剩下那面旗子，放在最低位置．根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是：3216(种)．【补充说明】这个问题也可以用乘法原理来做，一般，乘法原理中与顺序有关的问题常常可以用排列数公式做，用排列数公式解决问题时，可避免一步步地分析考虑，使问题简化．【例6】用1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个没有重复数字的四位数？（4级）【解析】这是一个从8个元素中取4个元素的排列问题，已知8n，4m，根据排列数公式，一共可以组成4887651680P(个)不同的四位数．【巩固】由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少没有重复数字的三位数？（2级）【解析】36120P．【例7】用0、1、2、3、4可以组成多少个没重复数字的三位数？（4级）【解析】（法1）本题中要注意的是0不能为首位数字，因此，百位上的数字只能从1、2、3、4这四个数字中选择一个，有4种方法；十位和个位上的数字可以从余下的4个数字中任选两个进行排列，有24P种7-4.排列.题库教师版page5of19方法．由乘法原理得，此种三位数的个数是：24448P(个)．（法2）：从0、1、2、3、4中任选三个数字进行排列，再减去其中不合要求的，即首位是0的．从0、1、2、3、4这五个数字中任选三个数字的排列数为35P，其中首位是0的三位数有24P个．三位数的个数是：32545434348PP(个)．本题不是简单的全排列，有一些其它的限制，这样要么先全排列再剔除不合题意的情况，要么直接在排列的时候考虑这些限制因素．【例8】用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？（2级）【解析】个位数字已知，问题变成从从5个元素中取2个元素的排列问题，已知5n，2m，根据排列数公式，一共可以组成255420P(个)符合题意的三位数．【巩固】用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数？（4级）【解析】由于组成偶数，个位上的数应从2，4，6中选一张，有3种选法；十位和百位上的数可以从剩下的5张中选二张，有255420P(种)选法．由乘法原理，一共可以组成32060(个)不同的偶数．．【例9】由0，2，5，6，7，8组成无重复数字的数，四位数有多少个？（4级）【解析】方法一：先考虑从六个数字中任取四个数字的排列数为466543360P，由于0不能在千位上，而以0为千位数的四位数有3554360P，它们的差就是由0，2，5，6，7，8组成无重复数字的四位数的个数，即为：36060300个．方法二：完成这件事——组成一个四位数，可分为4个步骤进行，第一步：确定千位数；第二步：确定百位数；第三步：确定十位数；第四步：确定个位数；这四个步骤依次完成了，“组成一个四位数”这件事也就完成了，从而这个四位数也完全确定了，思维过程如下：千位百位十位个位7-4.排列.题库教师版page6of19根据乘法原理，所求的四位数的个数是：5543300(个)．【例10】用1、2、3、4、5这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？（4级）【解析】按位数来分类考虑：⑴一位数只有1个3；⑵两位数：由1与2，1与5，2与4，4与5四组数字组成，每一组可以组成22212P(个)不同的两位数，共可组成248(个)不同的两位数；⑶三位数：由1，2与3；1，3与5；2，3与4；3，4与5四组数字组成，每一组可以组成333216P(个)不同的三位数，共可组成6424(个)不同的三位数；⑷四位数：可由1，2，4，5这四个数字组成，有44432124P(个)不同的四位数；⑸五位数：可由1，2，3，4，5组成，共有5554321120P(个)不同的五位数．由加法原理，一共有182424120177(个)能被3整除的数，即3的倍数．【例11】用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数？（4级）【解析】可以分两类来看：⑴把3排在最高位上，其余4个数可以任意放到其余4个数位上，是4个元素全排列的问题，有44432124P(种)放法，对应24个不同的五位数；⑵把2，4，5放在最高位上，有3种选择，百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3个数字可以选择，有3种选择，其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上，有336P种选择．由乘法原理，可以组成33654(个)不同的五位数．第一步：确