高等代数第三套

第1页（共6页）南京晓庄学院高等代数课程考试试卷卷（C）2011–2012学年度第1学期教育科学学院11级共4页教研室主任审核签名：院（系）领导审核签名：命题教师：赵东金校对人：刘娟娟班级姓名学号得分序号一二三四五六七八九总分得分阅卷人复核人一、选择题（每小题2分，共20分）1.设A是一个n阶行列式，则n最小可取（）A.0B.1C.2D.32.秩为零的矩阵一定是（）A.零矩阵B.单位矩阵C.1阶矩阵；D.某一行(列)元素全是零的矩阵3.多项f(x)＝2x3―2x2―2x＋2式在复数域上的标准分解式是（）A.2(x―1)(x＋1)(x―1)B.2(x2―1)(x―1)C.2(x―1)2(x＋1)D.(x―1)2(2x＋2)4.设A、B是n阶方阵，O是n阶零矩阵.若AB=O，则（）A.A=0或B=0B.0,0ABC.A和B中至少有一个奇异D.A和B都不可逆5设A、B是n阶方阵，I是n阶单位矩阵.下列结论成立的是（）A.(A＋B)(A－B)＝A2－B2B.(A＋B)(A－B)＝A2＋2AB－B2C.(A＋I)(A－I)＝A2－ID.(A＋I)(A－I)＝A2＋2A－I第2页（共6页）6单位矩阵（）A.是对称矩阵B.是对角矩阵C.是数量矩阵D.A、B、C同时成立7.下列关于多项式的说法中正确的是（）A.零多项式整除任何多项式B.零多项式不能整除零多项式C.零多项式整除零多项式D.零多项式的次数是零8.1234123237020xxxxxxx下面哪组数是方程组的解？（）A.（1,9,4,9）B.（1,9,9,7）C.（1,8,4,0）D.（1,3,1,0）9.设f(x)，g(x)是有理数域Q上的两个互素多项式，下列说法正确的是（）A.f(x)与g(x)在实数域上也互素B.f(x)与g(x)在实数域上不互素C.f(x)与g(x)在复数域上不互素D.f(x)与g(x)在任一数域F(Q)上都不互素10.12312342327xxxxxx线性方程组()A.无解B.有唯一解C.有零解D.有无穷多个解二、填空题（每小题3分，共30分）11．若2432()(1)()511gxxfxxxxaxb能整除，则a=，b=.12.设B是n个元素的集合，则B的所有子集的总数有个.13.设12kiii是k元排列，且n元排列12kk,iii，，，，+1,k+2,n的反序数为q，则n元排列k+1，k+2，…，n，111,2,,,,,,kkkkniii的反序数为.14.1x除4322468xxxx的商式是，余式是.15.计算00000000abcdklst=.16.设3222()3+232,()32fxxxxgxxx，则((),())fxgx.第3页（共6页）17.如果abcdbadcdcdabdcba，dd是的转置行列式，则dd=.18.设矩阵B与C可逆，则分块矩阵00BC的逆矩阵是.19.若1111102202,11020X则X=.20.设*A是n阶可逆矩阵A的伴随矩阵,则*1()A.三、计算题（每小题5分，共30分）21.求线性空间nmnnPPPx、与的基与维数.第4页（共6页）22.试求通过点（0,1），（1,0），（0，-1），（-1,0）与（1,1）的二次曲线方程.23.计算n阶行列式nabbbcabbdccabccca第5页（共6页）43232()343,()31023,(),()()()()()((),()).Pxfxxxxxgxxxxfxgxuxfxvxgxfxgx24.设的多项式求,并求u(x)、v(x)使四、证明题（共18分）25.设A是齐次线性方程组的系数矩阵，而iq是A中划去第i列剩下的（n-1）×（n-1）矩阵所构成的行列式，证明是齐次线性方程组的一个解向量.（8分）第6页（共6页）26.设A，D为可逆矩阵，证明1111100.AACDDCAD（10分）第7页（共6页）南京晓庄学院高等代数课程考试试卷卷（C）参考答案及评分标准一、选择题题（每小题2分，共20分）BAACCDCDAD二、填空题（每小题3分，共30分）11．a=-11，b=4.12.knC.13.(1)()2kknkkq14.商式是3233xxx，余式是515.（sd-tc）（bk-al）16.23x17.22224()abcd18.1100CB.19.X=503103113.20.||AA三、计算题（每小题5分，共30分）21.求线性空间nmnnPPPx、与的基与维数.第8页（共6页）1211121=1,0,,0,=0,1,,0,,=0,0,,1..(2)(2)100010000000E=E=,,000000100000E=..000(3)nnmnmnnnPmnPx解（）P的一个基为因此，它的维数为分的一个基为，它的维数为（5分）的一个基为121,,.nx1,x,x它的维数为n.（8分）22.试求通过点（0,1），（1,0），（0，-1），（-1,0）与（1,1）的二次曲线方程.解设通过已知点的二次曲线方程为220,axbxycydxeyf把已知点坐标分别代入方程中便得到a,b,c,d,e与f为未知量的的线性方程组00000cefadfcefadfabcdef第9页（共6页）齐次线性方程组系数矩阵00101100101110010110010100101100001010010100000011111101000110000110101(4)001000000100000010()56ArA分，线性方程组有无穷多个解。令f=-1,得a=1,b=-1,c=1,d=0,e=0,故所2210.(8)xyy求二次曲线方程为x分23.计算n阶行列式nabbbcabbdccabccca第10页（共6页）1110+0011()()()(1)11000+1111()nnnnncbbbacbbbcabbabbdccabcabcccaccabbbabbcacdcabacdcabccabbbbabcabbcabbdccabccabcccacccacabbbabccabccca解1111()()(2)(5)()().()()(1)().nnnnnnnnnnndbacabdcabbaccabbaccbdcbcbdanbab分（1）(a-b)-(2)(a-c)得(c-b)d当时，得当时，得（8分）24.43232()343,()31023,(),()()()()()((),()).Pxfxxxxxgxxxxfxgxuxfxvxgxfxgx设的多项式求,并求u(x)、v(x)使第11页（共6页）21111212221323221212122()()1152510,,,3999327,9,927,5510,.8181()(1),3123(),()(1)()()(),55531(5fxgxfqgrqxrxxgqrrqxrxrqrqxrgqrgqfqgqfqqgxfxgxxfxxxgxxu解对与辗转相除得（4分）其中212),().(8)55xxxvx分四、证明题（共18分）25.设A是齐次线性方程组的系数矩阵，而iq是A中划去第i列剩下的（n-1）×（n-1）矩阵所构成的行列式，证明是齐次线性方程组的一个解向量.（8分）证明：作新的n阶行列式(1,2,,1),kpkn它是把A的第k行放在第一行，而其余n-1行由A的n-1行组成，即12111211211121(1,2,,1).kkknnkjjjnnnnnaaaaaapknaaaaaa（4行）因kp中有两行元素相同，故0kp.另一方面，按kp第一行展开得11122(1)0nkkknnaqaqaq因而结论成立.（8分）第12页（共6页）26.设A，D为可逆矩阵，证明1111100.AACDDCAD（10分）12113412134211111234111110,.0.,,00=0,0,,.0.ADDABABCBDABXXDDIXXXXIAXXICBXAXXBCAXBADBCAB证明令则由于、是可逆矩阵，因此，（2分）设D则即（6分）推出所以（10分）