7-1-3-加法原理之树形图及标数法.教师版

7-1-3加法原理之树形图及标数法教师版page1of131.使学生掌握加法原理的基本内容；2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别；3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则．加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯，锻炼思维的周全细致．一、加法原理概念引入生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决．例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．二、加法原理的定义一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有1m种不同做法，第二类方法中有2m种不同做法，…，第k类方法中有km种不同做法，则完成这件事共有12kNmmm……种不同方法，这就是加法原理．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”．三、加法原理解题三部曲1、完成一件事分N类；2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；3、类类相加枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数．分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法．枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．知识要点教学目标7-1-3.加法原理之树形图及标数法7-1-3加法原理之树形图及标数法教师版page2of13模块一、树形图法“树形图法”实际上是枚举的一种，但是它借助于图形，可以使枚举过程不仅形象直观，而且有条理又不重复遗漏，使人一目了然．【例1】A、B、C三个小朋友互相传球，先从A开始发球(作为第一次传球)，这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共多少种？【考点】加法原理之树形图法【难度】3星【题型】解答【关键词】2005年，小数报【解析】如图，A第一次传给B，到第五次传回A有5种不同方式．同理，A第一次传给C，也有5种不同方式．所以，根据加法原理，不同的传球方式共有5510种．CBCCBAABABCCBA【答案】10【巩固】一只青蛙在A，B，C三点之间跳动，若青蛙从A点跳起，跳4次仍回到A点，则这只青蛙一共有多少种不同的跳法？【考点】加法原理之树形图法【难度】3星【题型】解答【解析】6种，如图，第1步跳到B，4步回到A有3种方法；同样第1步到C的也有3种方法．根据加法原理，共有336种方法．AAABCABCBA【答案】6【例2】甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止．问：一共有多少种可能的情况？【考点】加法原理之树形图法【难度】3星【题型】解答【解析】如下图，我们先考虑甲胜第一局的情况：图中打√的为胜者，一共有7种可能的情况．同理，乙胜第一局也有7种可能的情况．一共有7＋7=14（种）可能的情况．【答案】14【例3】如图，从起点走到终点，要求取出每个站点上的旗子，并且每个站点只允许通过一次，有种不同的走法。例题精讲7-1-3加法原理之树形图及标数法教师版page3of13终点起点【考点】加法原理之树形图法【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，一试，第3题【解析】给这些点依次标上字母（如左图），然后采用枚举法（如右图）：fdecbabdefedfdeffeccdcba共4种不同的走法。【答案】4种模块二、标数法适用于最短路线问题，需要一步一步标出所有相关点的线路数量，最终得到到达终点的方法总数．标数法是加法原理与递推思想的结合．（一）简单图形的标数法【例4】如图所示，沿线段从A到B有多少条最短路线？GFEDCBA111064332111AB【考点】加法原理之标数法【难度】2星【题型】解答【解析】图中B在A的右上方，因此从A出发，只能向上或者向右才能使路线最短，那么反过来想，如果到达了某一个点，也只有两种可能：要么是从这个点左边的点来的，要么是从这个点下边的点来的．那么，如果最后到达了B，只有两种可能：或者经过C来到B点，或者经D来到B点，因此，到达B的走法数目就应该是到达C点的走法数和到达D点的走法数之和，而对于到达C的走法，又等于到达E和到达F的走法之和，到达D的走法也等于到达F和到达G的走法之和，这样我们就归纳出：到达任何一点的走法都等于到它左侧点走法数与到它下侧点走法数之和，根据加法原理，我们可以从A点开始，向右向上逐步求出到达各点的走法数．如图所示，使用标号方法得到从A到B共有10种不同的走法．【答案】10【巩固】如图，从A点到B点的最近路线有多少条？BA10204111111B6243310A【考点】加法原理之标数法【难度】2星【题型】解答7-1-3加法原理之树形图及标数法教师版page4of13【解析】使用标号法得出到B点的最近路线有20条．【答案】20【例5】如图，某城市的街道由5条东西向马路和7条南北向马路组成，现在要从西南角的A处沿最短的路线走到东北角B出，由于修路，十字路口C不能通过，那么共有＿＿＿＿种不同走法．CBA1203920106634511111111181713553526201510654321CBA【考点】加法原理之标数法【难度】3星【题型】解答【解析】本题是最短路线问题．要找出共有多少种不同走法，关键是保证不重也不漏，一般采用标数法．如上图所示，共有120种．另解：本题也可采用排除法．由于不能经过C，可以先计算出从A到B的最短路线有多少条，再去掉其中那些经过C的路线数，即得到所求的结果．对于从A到B的每一条最短路线，需要向右6次，向上4次，共有10次向右或向上；而对于每一条最短路线，如果确定了其中的某6次是向右的，那么剩下的4次只能是向上的，从而该路线也就确定了．这就说明从A到B的最短路线的条数等于从10次向右或向上里面选择6次向右的种数，为610C．一般地，对于mn的方格网，相对的两个顶点之间的最短路线有mmnC种．本题中，从A到B的最短路线共有610C种；从A到C的最短路线共有26C种，从C到B的最短路线共有24C种，根据乘法原理，从A到B且必须经过C的最短路线有2264CC种，所以，从A到B且不经过C的最短路线有622106421090120CCC种．【答案】120【例6】如图所示，从A点到B点，如果要求经过C点或D点的最近路线有多少条？【考点】加法原理之标数法【难度】3星【题型】解答【解析】1、方格图里两点的最短路径，从位置低的点向位置高的点出发的话，每到一点（如C、D点）只能向前或者向上．2、题问的是经过C点，或者D点；那么A到B点就可以分成两条路径了A--C---B；A---D---B，那么也就可以分成两类．但是需要考虑一个问题——A到B点的最短路径会同时经过C和D点吗？最短路径只能往上往前，经过观察发现C、D不会同时出现在最短路径上了．3、A---C---B，那么C就是必经之点了，就需要用到乘法原理了．A---C，最短路径用标数法标出，同样C---B点用标数法标注，然后相乘A---D---B，同样道理．最后结果是735+420=1155条．【答案】1155【例7】如图1为一幅街道图，从A出发经过十字路口B，但不经过C走到D的不同的最短路线有条.【考点】加法原理之标数法【难度】4星【题型】解答【解析】到各点的走法数如图2所示.7-1-3加法原理之树形图及标数法教师版page5of13ACBD1118126666633211DBCA所以最短路径有18条.【答案】18【例8】小王在一年中去少年宫学习56次，如图所示，小王家在P点，他去少年宫都是走最近的路，且每次去时所走的路线正好互不相同，那么少年宫在________点处．人工湖超市PEDCBA【考点】加法原理之标数法【难度】3星【题型】解答【解析】本题属最短路线问题．运用标数法分别计算出从小王家P点到A、B、C、D、E点的不同路线有多少条，其中，路线条数与小王学习次数56相等的点即为少年宫．因为，从小王家P点到A点共有不同线路84条；到B点共有不同线路56条；到C点共有不同线路71条；到D点共有不同线路15条；到E点共有不同线路36条．所以，少年宫在B点处．【答案】B【例9】一只兔子沿着方格的边从A到B,规定上只能往上或往右走，但是必须经过一座独木桥MN,这只兔子有（）种不同的走法BANM【考点】加法原理之标数法【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，3年级，初赛，第15题【解析】标数法18612666633211111【答案】18种【例10】在下图的街道示意图中，有几处街区有积水不能通行，那么从A到B的最短路线有多少种？7-1-3加法原理之树形图及标数法教师版page6of13AB111111111145551113616215142211111311BA【考点】加法原理之标数法【难度】3星【题型】解答【解析】因为B在A的右下方，由标号法可知，从A到B的最短路径上，到达任何一点的走法数都等于到它左侧点的走法数与到它上侧点的走法数之和．有积水的街道不可能有路线经过，可以认为积水点的走法数是0．接下来，可以从左上角开始，按照加法原理，依次向下向右填上到各点的走法数．如右上图，从A到B的最短路线有22条．【答案】22条（二）不规则图形的标数法【例11】在下图的街道示意图中，C处因施工不能通行，从A到B的最短路线有多少条？CBA6033311122221111CBA【考点】加法原理之标数法【难度】3星【题型】解答【解析】因为B在A的右上方，由标号法可知，从A到B的最短路径上，到达任何一点的走法数都等于到它左侧点的走法数与到它下侧点的走法数之和．而C是一个特殊的点，因为不能通行，所以不可能有路线经过C，可以认为到达C点的走法数是0．接下来，可以从左下角开始，按照加法原理，依次向上向右填上到各点的走法数．如图，从A到B的最短路线有6条．【答案】6条【巩固】小群家到学校的道路如图4所示。从小君家到学校有_________种不同的走法。（只能沿图中向右向下的方向走）学校小君家【考点】加法原理之标数法【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，一试，第15题【解析】10743322221111111学校小君家7-1-3加法原理之树形图及标数法教师版page7of13所以有10种.【答案】10【例12】如下表，请读出“我们学习好玩的数学”这9个字，要求你选择的9个字里能连续(即相邻的字在表中也是左右相邻或上下相邻)，这里共有多少种完整的“我们学习好玩的数学”的读法．351511113451014610151512013570321【考点】加法原理之标数法【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：标数法．第一个字只能选位于左上角的“我”，以后每一个字都只能选择前面那个字的下方或右方的字，所以本题也可以使用标号法来解：(如右上图，在格子里标数)共70种不同的读法．方法二：组合法．仔细观察我们可以