2012年全国高中数学联赛试题及详细解析

12012年全国高中数学联赛一试参考答案及详细评分标准一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．1.设P是函数2yxx（0x）的图像上任意一点，过点P分别向直线yx和y轴作垂线，垂足分别为,AB，则PAPB的值是．2.设ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且满足3coscos5aBbAc，则tantanAB的值是.3.设,,[0,1]xyz，则||||||Mxyyzzx的最大值是.4.抛物线22(0)ypxp的焦点为F，准线为ｌ，,AB是抛物线上的两个动点，且满足3AFB．设线段ＡＢ的中点M在ｌ上的投影为N，则||||MNAB的最大值是.5．设同底的两个正三棱锥PABC和QABC内接于同一个球．若正三棱锥PABC的侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥QABC的侧面与底面所成角的正切值是．6.设()fx是定义在R上的奇函数，且当0x时，()fxx．若对任意的[,2]xaa，不等式()2()fxafx恒成立，则实数a的取值范围是．7.满足11sin43n的所有正整数n的和是．8.某情报站有,,,ABCD四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示）二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．9.（本小题满分16分）已知函数131()sincos2,,022fxaxxaaRaa（1）若对任意xR，都有()0fx，求a的取值范围；（2）若2a，且存在xR，使得()0fx，求a的取值范围．210.（本小题满分20分）已知数列na的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n，都有23331212()nnaaaaaa（1）当3n时，求所有满足条件的三项组成的数列123,,aaa;（2）是否存在满足条件的无穷数列{}na，使得20132012?a若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．11.（本小题满分20分）如图，在平面直角坐标系XOY中，菱形ABCD的边长为4，且6OBOD．（1）求证：||||OAOC为定值；（2）当点A在半圆22(2)4xy（24x）上运动时，求点C的轨迹．32012年全国高中数学联赛加试试题一、（本题满分40分）如图，在锐角ABC中，,,ABACMN是BC边上不同的两点，使得.BAMCAN设ABC和AMN的外心分别为12,OO，求证：12,,OOA三点共线。二、（本题满分４０分）试证明：集合22,2,,2,nA满足（1）对每个aA，及bN，若21ba，则(1)bb一定不是2a的倍数；（2）对每个aA（其中A表示A在Ｎ中的补集），且1a，必存在bN，21ba，使(1)bb是2a的倍数．三、（本题满分５０分）设012,,,,nPPPP是平面上1n个点，它们两两间的距离的最小值为(0)dd求证：01020()(1)!3nndPPPPPPn四、（本题满分５０分）设1112nSn，ｎ是正整数．证明：对满足01ab的任意实数,ab，数列{[]}nnSS中有无穷多项属于(,)ab．这里，[]x表示不超过实数ｘ的最大整数．4参考答案及详细评分标准2012年全国高中数学联赛一试一、填空题1.【答案】-1【解析】方法1:设0002(,),pxxx则直线PA的方程为0002()(),yxxxx即0022.yxxx由00000011(,).22yxAxxyxxxxx又002(0,),Bxx所以00011(,),(,0).PAPBxxx故001()1.PAPBxx2.【答案】4【解析】由题设及余弦定理得222223225cabbcaabccabc,即22235abc故222222222222228tansincos2542tansincos52acbacAABcabacbcaBBAbcacbbc.3.【答案】12【解析】不妨设01,xyz则.Myxzyzx因为2[()()]2().yxzyyxzyzx所以2()(21)21.Mzxzxzx当且仅当1,0,1,2yxzyxzy时上式等号同时成立.故max21.M4.【答案】1【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.2AFBFMN在AFB中,由余弦定理得2222cos3ABAFBFAFBF2()3AFBFAFBF22()3()2AFBFAFBF522().2AFBFMN当且仅当AFBF时等号成立.故MNAB的最大值为1.5.【答案】4【解析】如图.连结PQ,则PQ平面ABC,垂足H为正ABC的中心,且PQ过球心O,连结CH并延长交AB于点M,则M为AB的中点,且CMAB,易知,PMHQMH分别为正三棱锥,PABCQABC的侧面与底面所成二角的平面角,则45PMH,从而12PHMHAH,因为90,,PAQAHPQ所以2,APPHQH即21.2AHAHQH所以24.QHAHMH,故tan4QHQMHMH6.【答案】[2,).【解析】由题设知22(0)()(0)xxfxxx,则2()(2).fxfx因此,原不等式等价于()(2).fxafx因为()fx在R上是增函数,所以2,xax即(21).ax又[,2],xaa所以当2xa时,(21)x取得最大值(21)(2).a因此,(21)(2),aa解得2.a故a的取值范围是[2,).7.【答案】33【解析】由正弦函数的凸性,有当(0,)6x时,3sin,xxx由此得131sin,sin,1313412124131sin,sin.10103993所以11sinsinsinsinsin.134121110396故满足11sin43n的正整数n的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.8.【答案】24361【解析】用kP表示第k周用A种密码的概率,则第k周末用A种密码的概率为1kP.于是,有11(1),3kkPPkN,即1111()434kkPP由11P知，14kP是首项为34，公比为13的等比数列。所以1131()443kkP，即1311()434kkP，故761243P二、解答题9.【解析】(1)23()sinsin.fxxaxaa令sin(11),txt则23()4gttataa分对任意xR,()0fx恒成立的充要条件是3(1)10(0,1]83(1)120gaagaa分(2)因为2,a所以1.2a所以min3()(1)112gtga分因此min3()1.fxa于是,存在xR,使得()0fx的充要条件是31003.aa故a的取值范围是[2,3].16分10.【解析】(1)当1n时,2311aa,由10a得11a.当2n时,2322(1)1aa,由20a得22a或21a‥‥‥‥‥‥‥5分当3n时,2332323(1)1.aaaa若22a得33a或32a;若21a得31a;综上,满足条件的三项数列有三个:1,2,3或1,2,-2或1,-1，1‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥10分(2)令12,nnSaaa则233312()nnSaaanN从而233331121().nnnnSaaaaa两式相减,结合10na得2112nnnSaa当1n时,由(1)知11a;当2n时,2211122()()(),nnnnnnnaSSaaaa即11()(1)0,nnnnaaaa7所以1nnaa或11nnaa‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥15分又120131,2012,aa所以(12012)2012(1)(2013)nnnnan‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥20分11.【解析】因为,,OBODABADBCCD所以,,OAC山的共线‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥5分如图,连结BD,则BD垂直平分线段AC,设垂足为K,于是有()()OAOCOKAKOKAK22OKAK2222()()OBBKABBK22226420OBAB(定值)‥‥‥‥10分(2)设(,),(22cos,2sin),CxyA其中(),22XMA则2XOC.因为2222(22cos)(2sin)8(1cos)16cos,2OA所以4cos2OA‥‥‥‥‥15分由(1)的结论得cos5,2OC所以cos5.2xOC从而sin5tan[5,5].22yOC故点C的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为(5,5),(5,5)AB‥‥‥‥‥‥20分2012年全国高中数学联赛加试试题一、【解析】证明：如图.连接12,AOAO,过A点作1AO的垂线AP交BC的延长线于点P,则AP是ABC的外接圆1O的切线.因此BPAC‥‥‥10分因为,BAMCAN所以AMPBBAMPACCANPAN‥‥‥‥20分因而AP是AMN的外接圆2O的切线‥‥‥‥‥‥‥‥30分故2.APAO所以12,,OOA三点共线。‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥40分二、【解析】证明:对任意的aA,设2,,kakN则122,ka如果b是任意一个小于821a的正整数,则121ba‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥10分由于b与1b中,一个为奇数,它不含素因子2,另一个是偶数,它含素因子2的幂的次数最多为k,因此(1)bb一定不是2a的倍数；‥‥‥‥‥‥‥20分若aA,且1,a设2,kam其中k为非负整数,m为大于1的奇数,则122kam‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥30分下面给出(2)的三种证明方法:证法一:令1,12,kbmxby消去b得121.kymx由于1(2,)1,km这方程必有整数解;1002kxxtyymt其中00,(,)tzxy为方程的特解.把最小的正整数解记为(,),xy则12kx,故21,bmxa使(1)bb是2a的倍数．‥‥‥40分证法二:由于1(2,)1,km由中国剩余定理知,同余方程组10(mod2)1(mod)kxxmm在区间1(0,2)km上有解,xb即存在21,ba使(1)bb是2a的倍数．‥‥‥‥40分证法三:由于(2,)1,m总存在(,1),rrNrm使21(mod)rm取,tN使1,trk则21(mod)trm存在1(21)(2)0,,trkbqmqN使021,ba此时1,21,kmbm因而(1)bb是2a的倍数．‥‥‥‥‥40分三、【解析】证法一:不妨设01020.nPPPPPP先证明:对任意正整数k,都有013kdPPk显然,013kdPPdk对1,2,,8k均成立,只有8k时右边取等号……10分所以,只要证明当9k时,有013kdPPk即可.以(0,1,2,,)iPik为圆心,2d为半径画1k个圆,它们两两相离或外切;以0P圆心，02kdPP为半