南山中学和南山中学实验学校2016年自主招生考试数--学--试--题

南山中学2016年自主招生考试数学试题第1页/共6页绝密★启用前南山中学和南山中学实验学校2016年自主招生考试数学试题本试题卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）．第I卷第II卷共6页．满分150分，考试时间120分钟．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，请将本试题卷、答题卡一并交回．第I卷（选择题，共36分）注意事项:必须使用2B铅笔在答题卡将所选答案标号涂黑．第I卷共12个小题．一．选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分），在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、南山中学（含实验校区），2015年高考本科硬上线人数高达8083人，以绝对优势雄踞就全省第一，数字8083用科学计数法表示为（）A、8.08×103B、8.083×102C、8.083×103D、8.083×1042、64的立方根是（）A、2B、±2C、±4D、43、班长统计参加校运动会比赛各项目人数得到六个数据：3,2,1,3,2,3，则这组数据的中位数是（）A、2B、2.5C、37D、34、在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=30o，AB是⊙O直径，在直线CD与⊙O的位置关系为（）A、相交B、相切C、相离D、相交或相切或相离5、全国青少年信息学奥林匹克竞赛（简称NOI），南山中学22名同学在32届NOI2015中荣获国家级一等奖（全省共71人，全市共32人），学校现正紧锣密鼓的筹备将于今年7月在南山中学举办的33届NOI2016.我们常用的数是十进制的数，而计算机程序处理中使用的是只有数码0和1的二进制数。这两者可以相互换算。如将二进制数1101换算成十进制数应写为1×23+1×22+0×21+1×20=13，按此方式，则将十进制数33换算成二进制数应该写成（）A、101001101B、110000C、100001D、100016、南山中学与火车站之间有不同的5条路可走，火车站与南山实验之间有不同的4条路可走。某人由南山中学经火车站到南山实验，再由南山实验经火车站返回到南山中学共有（）种不同的线路走法。A.400B.40C.20D.187、x1,x2是一元二次方程x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0的两个实根，则x12+x22的最南山中学2016年自主招生考试数学试题第2页/共6页大值是（）A.9190B.19C.18D.178、分式方程)1(611xxxkxxxx只有一个实数解，则实数k=（）A.1B.-1C.7D.1或-1或79、如果，点C是以AB为直径的半圆上任意一点，以AC、AB为直径的半圆在以AB为直径的半圆外的左右两半月状画斜线阴影部分的面积之和记作S阴影，ABC的面积记作SABC,则正确的是（）。A.SABCS阴影B.SABC=S阴影C.SABCS阴影D.只有当AC=CB时，SABC=S阴影10、如图，点E、点F分别是正方形ABCD边BC、CD的重点，则EAFtan=（）。A.54B.53C.34D.4311、如图，在第一象限的点A既在双曲线xy12上又在直线22xy上，且直线22xy与x轴相交于点B，C(0,b)，D(0,b+2)，当四边形ABCD周长取得最小值时b=（）。A.21B.43C.1D.2512、如图，A、B是O为圆心，25为半径的圆周上两点，C为圆内一点，BC=6，CA=8，BCCA，则OC=（）。A.2B.22C.22D.42南山中学2016年自主招生考试数学试题第3页/共6页第II卷（非选择题，共114分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上对应的区域作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨水签字笔绘清楚，答在试题卷、草稿纸上答题无效。第II卷共13个小题。二．填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）13.因式分解：222222)()(ycbxayxcbyax.14.不等式组xxxx2371211315的正整数解是.15.若函数132xaaxy的图象与x轴只有一个交点，则实数a=.16.如图，在3×5的矩形方格图中，不包含画斜线阴影部分的所有矩形个数是个。17.如图，四边形ABCD，CDEF，EFGH都是边长为1的正方形，则BFABGA度。18.如图，在ABC中，523BCACAB，，，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上非线段端点的点，若满足条件：.DEFABCSSCFCABEBCADAB（其中ABCS表示ABC的面积）下列结论：①DEF与ABC的重心相同；②ABCEFCSS29;③3;④CEFBEDADFSSS.其中正确结论的序号是。（填写所有正确结论的序号）三、解答题：（本大题共7个小题，共90分）。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19.（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）解答下列各题南山中学2016年自主招生考试数学试题第4页/共6页（1）计算：133430cos412278；（2）设32,32yx，求2222444122yyxyxxxxxxx的值。20.（本小题满分12分）如图，点E、F分别是矩形ABCD边BC、CD的中点，AE平分BAF，FE平分CFA,AE交BD于点G，EFGH交EF于点H。（1）证明：AG+HC=AE;（2）证明：.EFDGGAAE21.（本小题满分12分）某校初中三年级共有甲、乙、丙三个班，甲班比乙班总人数多4人，丙班比乙班总人数少1人。如果把原来甲班全部女生调到乙班，原来乙班全部女生调到丙班，原来丙班全部女生18人调到甲班，则三个班总人数恰好一样。求甲、乙两个班原来女生的人数。南山中学2016年自主招生考试数学试题第5页/共6页22.（本小题满分12分）为了保密，许多情况下都要采用密码，这时就需要破译密码的“钥匙”。有一种密码，密码是由两个字母组成，密码“钥匙”是由密码对应的四个数字组成。规则如下表：密码由表中每一排取一个字母组成，且第一排取的字母放在前面，第二排取的字母放在后面，对应的密码“钥匙”由密码对应的数字按相同的次序排成。例如密码BV对应的四位数密码“钥匙”是1221,1221中含有两个不同数字1,2.第一排密码ABCDE密码“钥匙”1112131415第二排密码VWXYZ密码“钥匙”2122232425试用列举法求下列事件的概率：（1）四位数密码“钥匙”由四个不同数字组成；（2）四位数密码“钥匙”由三个不同数字组成。23.（本小题满分12分）将一条长度为6的线段AD折成三段AB，BC，CD，一边靠墙围成四边形ABCD形状。设AB=x.（1）若四边形ABCD是一个底角为60的等腰梯形，梯形ABCD的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若四边形ABCD是一个矩形，矩形ABCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，注明自变量x的取值范围；（3）试比较在一边靠墙围成矩形与一边靠墙围成底角为60的等腰梯形两种不同折法的四边形ABCD面积中，如何折成三段能使四边形ABCD的面积最大？并求出最大面积，写出AB，BC，CD的长度及四边形ABCD的形状。南山中学2016年自主招生考试数学试题第6页/共6页24、（本小题满分12分）观察下列三行数：2，-4，8，-16，32，-64，……①2，6，14，30，62，126，……②1，-2，5，-12，27，-58……③（1）第①行数按什么规律排列？记第①行第n个数为na，请用含n的代数式表示na；（2）记第②、③行第n个数分别为nb、nc，直接写出nb、nc关于n的代数式；（3）计算：na+nb+nc。25.（本小题满分14分）如图，抛物线223212xxy与x轴交于A、B两点（点A在左侧），与y轴交于点C。（1）点D是线段AB中点，求直线CD的解析式；（2）抛物线上点E使OBE与ABC两个三角形的面积之比为5:4即4:5:ABDOBESS，求点E的坐标；（3）设ABC的内心为I，过点I任作一直线l分别交射线CA、CB（点C除外）于点M、N，则CNCM11的值是否为定值？若是，写出求解定值过程并求出该定值；若不是，请说明理由。