第八章-刚体定点运动的动力学

本章主要介绍运用质点系的三大定理解决刚体定点运动动力学问题。第八章刚体定点运动的动力学主要内容:•欧拉角欧拉运动学方程•刚体定点运动的角动量和动能惯量张量•欧拉动力学方程•欧拉-潘索情况§11.1欧拉角欧拉运动学方程一.欧拉角20,20,0,,,称为欧拉角固定坐标系:o固定在刚体上的动坐标系:.oxyz确定z轴的位置:和L0kkl)(节线.,即节线为面的交线面与ONOOxyL0kkl)(节线.,:;,:;,:0kk自转角速度为自转角章动角速度为章动角进动角速度为进动角kk0zz,,进动章动kk0L0kkl)(节线jiklkkcossinsinsincossincos0jisincos二.欧拉运动学方程.OMzOOxy面的交线为面与kjizyx动系中:cossincossincossinsinzyx------欧拉运动学方程§11.2刚体定点运动的角动量和动能惯量张量本节介绍刚体作定点运动时具有的动量、角动量、动能的计算。cvmP一.刚体做定点运动时对定点的角动量的计算11121[()[]11.2.2nniiiiiiiiniiiiiiiiniiiiiLrmvrrmrrrrmrrr可知一般与不共线,只在某些特殊方向上L∥Liiiirxiyjzkiiiiijk试推导上式分量形式:22111nnnxxiiiyiiiziiiiiiLmyzmxymxz22111nnnyxiiiyiiiziiiiiiLmyxmzxmyz22111nnnzxiiiyiiiziiiiiiLmzxmzymzy221nxxiiiiImyz令:刚体对x轴的轴转动惯量221nyyiiiiImzx刚体对y轴的轴转动惯量221nzziiiiImxy刚体对z轴的轴转动惯量1nyzzyiiiiIImyz1nzxxziiiiIImzx1nxyyxiiiiIImxy及:惯量积则:xxxxxyyxzzLIIIyyxxyyyyzzLIIIzzxxzyyzzzLIII(11.2.6’)性系数合在一起统称为惯惯量积与转动惯量现对上述结果进行分析：1）惯性系数决定于刚体质量对坐标系的分布。惯性系数也可用积分形式代替（11.2.6’）式；mzyIxxd22mxzIyyd22myxIzzd22mxyIIyxxydmzxIIzxxzdmyzIIzyyzd惯量系数是点坐标的函数,所以用静止的坐标系时,刚体转动时,惯量系数随之而变.通常选取固着在刚体上、并随着刚体一同转动的动坐标系,这样,惯量系数都是常数．张量I也可写成并矢形式：zzzyzxyzyyyxxzxyxxIkkIjkIikIkjIjjIijIkiIjiIiiI二.惯量张量xxxyxzyxyyyzzxzyzzIIIIIIIIII惯量张量是用来描述刚体定点转动的惯性的物理量；而转动惯量是描述刚体定轴转动的惯性的物理量。xxxxyxzxyyxyyyzyzzxzyzzzLIIILIIILIII（11.2.6’）式用矩阵表示:LI线性变换关系称为仿射变换三.惯量主轴000000xxxyxzxxyxyyyzyyzxzyzzzzIIIIIIIIIIIII000000xxxxyyyyzzzzLILILIxxxyyyzzzLIiIjIk使刚体对固定点的惯量张量中所有惯量积为零的坐标系为该点（O点）的主轴坐标系。,,xxyyzzIII为三个主轴的转动惯量(主转动惯量)若刚体定点运动的角速度沿一主轴方向，则角动量为LIL与平行如何寻找惯量主轴呢？1）对均匀对称的刚体，其对称轴是轴上各点的惯量主轴。分析：某轴(设x轴)要为固定O点的惯量主轴的必要条件.xxxxxyyxzzLIIIyyxxyyyyzzLIIIzzxxzyyzzzLIII0,xxyxzxyxzxxxLIiIjIkIILIi则只要得设刚体以角速度绕x轴转动,则,根据i0:都为包含该轴的所有惯量积充要条件是一固定点的惯量主轴的所以某轴要为其轴上某若对称轴为X轴，刚体上有()0(,,)(,,)()00,0,iiiiiiiiiiiiiiiiiiyxiiizxiiimyxmyxxyzxyzmzxmzxImyxImzx2）刚体的对称面的法线，也是该法线所在轴上各点的惯量主轴证明：3）坐标系的两个轴是惯量主轴，则第三个轴也是主轴，此坐标系是主轴坐标系。4）以匀质旋转对称刚体的旋转对称轴（刚体绕此轴转过任意角度都对称）为一轴的坐标系是主轴坐标系。四.刚体做定点运动时的动能2111111222nnniiiiiiiiiiiTmrmvvmvr111(11.2.20)22niiiiTrmvLCABABC利用xxxyyyzzzLIiIjIk把式代入上式)(21222zzzyyyxxxIIIT得主轴坐标系上动能表达式:221212121IILLT其中I为刚体对瞬时轴的转动惯量.五.惯量椭球研究刚体对过定点的一个轴的转动惯量的表达式.以刚体固定点为原点建立坐标系Oxyz坐标系，过O点的l轴方向余弦为),,(])([])([])cos([222222222iiiiiiiiiiiiiiilzyxzyxmlrrmrrmmI考虑到则上式化为,1222lIlIIIIIIIIlzxyzxyzzyyxxl222222----------------------如已知固定点的惯量张量,则可得过此点的任何轴的转动惯量.我们从几何图象来描述转动惯量随轴方向分布的情况.在转动轴上取一长为R的线段OP,令1.lOPRI则P点的坐标将是RzRyRx,,代入式zxyzxyzzyyxxlIIIIIII222222得P点的轨迹是:1)1(22222222lllzxyzxyzzyyxxIIIRzxIyzIxyIzIyIxI--------椭球面,反映了转动惯量的分布情况,又称惯量椭球.几点说明:1)对刚体不同固定点,有不同的惯量椭球,它属于刚体中某一点.2)惯量椭球的3个对称轴是固定点的3个互相垂直的主轴,若,则惯量椭球是个旋转椭球;如,则惯量椭球为圆球.yyxxIIzzyyxxIII3)利用惯量椭球可知刚体对固定点的角动量L的方向是沿过椭球面角速度矢量与惯量椭球相交点P点的法线方向上.(证明见书P303)例题1:一匀质薄圆盘能绕其中心O点做定点转动,其质量为m,半径为R,已知英雄模范瞬时圆盘绕壶中心与盘面成角的轴以角速度转动,试求此时圆盘对中心的角动量和圆盘的动能,以及圆盘对此轴的转动惯量.30解:建立过O点的主轴坐标系,依题意有:60cos,0,30cos21,4122zyxzzyyxxmRImRII圆盘对O点的角动量为:kmRimRkmRimRkIjIiILzzzyyyxxx2222418360cos2130cos41z圆盘的动能为:22222222216521)81163(21)(21mRmRmRIIITzzzyyyxxx22165:21mRIITl相比较可得与式2222222222216541214341)60(cos)30(cos:222mRmRmRIIIIIIIIIIIIIzzxxzzyyxxlzxyzxyzzyyxxl得也可据式§11.3欧拉动力学方程一.欧拉动力学方程我们采用刚体固定点的主轴坐标系Oxyz,并与刚体固连,则刚体对定点的角动量为:xxyyzzLIiIjIk采用动坐标系，角动量定理为：kdtdIjdtdIidtdIdtLdMLdtLddtLdzzyyxx而,,)()()(kIIjIIiIILyxyxxzxzzyzykdtdIjdtdIidtdIdtLdMLdtLddtLdzzyyxx而)2.3.11(,所以（11.3.2)式的投影方程为:zyxyxzzyxzxzyyxzyzyxxMIIdydIMIIdydIMIIdydI——欧勒动力学方程思考为何这里采用动坐标系,没考虑惯性力?结合欧拉运动学方程cossincossincossinsinzyx来求解刚体定点运动问题,但这两个方程组求解困难,到目前为止,只有在下列三种情况才得到解析解.1.欧勒—潘索情况:刚体不受外力矩作用的定点运动.2.拉格朗日—泊松情况:即陀螺在重力场中的运动，要求对固定点O所作的惯量椭球是一旋转椭球,亦即3个主转动惯量中有两个相等，Ix=Iy,重心则位于动力对称轴上但不与固定点重合.回转仪.3.C.B.柯凡律夫斯卡雅情况:在这一情况下，Ix＝Iy＝2Iz,而重心则在Oxy平面上.这也是一种对称陀螺.zI二.直接用角动量定理和质心运动定理外理比较简单的定点运动问题已知刚体的运动，求作用在刚体上的约束力。例1一个均质圆盘,由于安装不善,涡轮转动轴与盘面法线成交角.圆盘质量为m,半径r,中心O在转轴上,O至两轴承A与B的距离均为a.设轴以角速度转动,试求轴承上的压力解：以圆盘和转轴为系统，建立圆盘中心O点的主轴坐标系；为分解约束力再建zyxOOxyz对Z轴角动量知，常量kjkMdydIMIIdydIzzzyxyxzzcossin03zk圆盘对O点的角动量为kmrjmrkIjILzzzyyycos21sin4122MimrimrmrLdtLddtLd2sin81cossin)4121(022222上式在X，Y方向的投影为：)5()(0)4)((2sin8122NAxNBxNByNAyFFaFFamr质心运动定理为：mgFmgFFFFFzyxFdtvdmNAzNAzNByNAyNBxNAxec0)7(0)6(0,,,)(方向投影得它在由（4）-（7）得：2sin161022mraFFFFNByNAyNBxNAx由上式可知，当高速运转部件安装不善造成对轴承的动压力危害很