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8-7.概率与统计.题库教师版page1of161.能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题.2.运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题．3.理解和运用概率性质进行概率的运算知识点说明在抛掷一枚硬币时，究竟会出现什么样的结果事先是不能确定的，但是当我们在相同的条件下，大量重复地抛掷同一枚均匀硬币时，就会发现“出现正面”或“出现反面”的次数大约各占总抛掷次数的一半左右．这里的“大量重复”是指多少次呢？历史上不少统计学家，例如皮尔逊等人作过成千上万次抛掷硬币的试验，随着试验次数的增加，出现正面的频率波动越来越小，频率在0.5这个定值附近摆动的性质是出现正面这一现象的内在必然性规律的表现，0.5恰恰就是刻画出现正面可能性大小的数值，0.5就是抛掷硬币时出现正面的概率．这就是概率统计定义的思想，这一思想也给出了在实际问题中估算概率的近似值的方法，当试验次数足够大时，可将频率作为概率的近似值．在统计里，我们把所要考察对象的全体叫做总体，其中的每一个考察对象叫做个体。从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。样本中个体的数目叫做样本的容量。总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，把样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。概率的古典定义：如果一个试验满足两条：⑴试验只有有限个基本结果：⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的．这样的试验，称为古典试验．对于古典试验中的事件A，它的概率定义为：mPAn，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目，m表示事件A包含的试验基本结果数．小学奥数中，所涉及的问题都属于古典概率．其中的m和n需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出．相互独立事件：PABPAPB事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．公式含义：如果事件A和B为独立事件，那么A和B都发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率之积．举例：⑴明天是否晴天与明天晚餐是否有煎鸡蛋相互没有影响，因此两个事件为相互独立事件.所以明天天晴，并且晚餐有煎鸡蛋的概率等于明天天晴的概率乘以明天晚餐有煎鸡蛋的概率.⑵第一次抛硬币掉下来是正面向上与第二次抛硬币是正面向上是两个相互独立事件．所以第一次、第二次抛硬币掉下来后都是正面向上的概率等于两次分别抛硬币掉下来后是正面向上的概率之积，即111224P.⑶掷骰子，骰子是否掉在桌上和骰子的某个数字向上是两个相互独立的事件，如果骰子掉在桌上的知识点拨教学目标8-7概率与统计8-7.概率与统计.题库教师版page2of16概率为0.6，那么骰子掉在桌上且数字“n”向上的概率为10.60.16．【例1】（2007年“希望杯”二试六年级)气象台预报“本市明天降雨概率是80%”．对此信息，下列说法中正确的是．①本市明天将有80%的地区降水．②本市明天将有80%的时间降水．③明天肯定下雨．④明天降水的可能性比较大．【解析】降水概率指的是可能性的大小，并不是降水覆盖的地区或者降水的时间．80%的概率也不是指肯定下雨，100%的概率才是肯定下雨．80%的概率是说明有比较大的可能性下雨．因此④的说法正确．【巩固】一个小方木块的六个面上分别写有数字2、3、5、6、7、9，小光、小亮两人随意往桌面上扔放这个木块．规定：当小光扔时，如果朝上的一面写的是偶数，得1分．当小亮扔时，如果朝上的一面写的是奇数，得1分．每人扔100次，______得分高的可能性比较大．【解析】因为2、3、5、6、7、9中奇数有4个，偶数只有2个，所以木块向上一面写着奇数的可能性较大，即小亮得分高的可能性较大．【例2】在多家商店中调查某商品的价格，所得的数据如下（单位：元）2521232527292528302926242527262224252628请填写下表【解析】：【例3】在某个池塘中随机捕捞100条鱼，并给鱼作上标记后放回池塘中，过一段时间后又再次随机捕捞200尾，发现其中有25条鱼是被作过标记的，如果两次捕捞之间鱼的数量没有增加或减少，那么请你估计这个池塘中一共有鱼多少尾？【解析】200尾鱼中有25条鱼被标记过，所以池塘中鱼被标记的概率的实验得出值为252000.125，所以池塘中的鱼被标记的概率可以看作是0.125，池塘中鱼的数量约为1000.125800尾．【例4】有黑桃、红桃、方块、草花这4种花色的扑克牌各2张，从这8张牌中任意取出2张。请问：这2张扑克牌花色相同的概率是多少？【解析】先从8张牌中选2张牌有28种选法。然后满足条件的选法只有4种，即4种不同的花色，所以这两张牌花色相同的概率是4/28＝1/7例题精讲8-7.概率与统计.题库教师版page3of16【巩固】小悦从1、2、3、4、5这5个自然数中任选一个数，冬冬从2、3、4、5、6、7这6个自然数中任选一个数。选出的两个数中，恰好有一个数是另一个数的倍数的概率是多少【解析】小悦从1、2、3、4、5这5个自然数中任选一个数，有5种选法冬冬从2、3、4、5、6、7这6个自然数中任选一个数，有6种许选法所以总共的组合有5×6＝30种不同选法，其中满足倍数关系的分别有小悦取1时，有6种小悦取2时，有3种,小悦取3时，有2种,小悦取4时，有2种，小悦取5时，有1种，一共有14种.所以满足条件的概率是14/30＝7/15【例5】妈妈去家乐福购物，正好碰上了橘子、香蕉、葡萄和榴莲大降价。于是她决定从这4中水果中任选一种买回家。爸爸下班时路过集贸市场，发现有苹果、橘子、香蕉、葡萄和梨出售。他也决定任选一种买回家。请问：他们买了不同的水果的概率是多少？【解析】妈妈爸爸都买香蕉的概率是1/4×1/5=1/20都买橘子的概率是1/4×1/5=1/20都买葡萄的概率是1/4×1/5=1/20。所以他们买的水果不同的概率为1-3/20=17/20【巩固】在标准英文字典中，由2个不同字母组成的单词一共有55个.如果从26个字母中任取2个不同的排列起来，那么恰好能拍成一个单词的概率是多少？【解析】从26个自母中任选2个字母进行排列有650种不同的选法，满足条件的只有26种，所有恰好构成一个单词的概率是55/650=11/130【巩固】口袋里装有100张卡片，分别写着1，2，3，……，100.从中任意抽出一张。请问：（1）抽出的卡片上的数正好是37的概率是多少？（2）抽出的卡片上的数是偶数的概率是多少？（3）抽出的卡片上的数是质数的概率是多少？（4）抽出的卡片上的数是101的概率是多少？（5）抽出的卡片上的数小于200的概率是多少？【解析】随机抽出有100种可能，所以是37的概率是1/100100种有50个偶数，所以是偶数概率是50/100＝1/2100以内有25个质数，所以是质数的概率是1/4抽出卡片不可能是101，所以概率为0抽出所有数都小于200，所以概率为1.【例6】在一只口袋里装着2个红球，3个黄球和4个黑球。从口袋中任取一个球，请问：（1）这个球是红球的概率有多少？（2）这个球是黄球或者是黑球的概率有多少？（3）这个是绿球的概率有多少？不是绿球的概率又有多少?【解析】口袋里一共有9个球，2个红球，随机取有2/9的概率取到红球这个球不是是红球就是黄球或者黑球，所以取到黄球或者黑球的概率是7/9，由于没有绿球，所以取到旅求概率是0，不是绿球的概率是1【巩固】一只口袋里装有5个黑球和3个白球，另一只口袋里装有4个黑球和4个白球。从两只口袋里各取出一个球。请问：取出的两个球颜色相同的概率是多少？【解析】总共的取法数是8×8＝64种满足条件的选法有当选出都是黑球5×4＝20种，当选出都是白球3×4＝12种，一共有32种满足条件所以两个球颜色相同概率是32/64＝1/28-7.概率与统计.题库教师版page4of16【巩固】一只普通的骰子有6个面，分别写有1、2、3、4、5、6。掷出这个骰子，它的任何一面朝上的概率都是1/6.假设你将某一个骰子连续投掷了9次，每次的结果都是1点朝上。那么第十次投掷后，朝上的面上的点数恰好是奇数的概率是多少？【解析】本题要注意当你投掷9次之后的结果其实对第十次是没有影响的，所以第十次投掷只要投掷出1，3，5就满足条件，而总共有1～6六种可能，所以概率是1/2.【巩固】甲、乙两个学生各从09这10个数字中随机挑选了两个数字（可能相同），求：⑴这两个数字的差不超过2的概率，⑵两个数字的差不超过6的概率．【解析】⑴两个数相同（差为0）的情况有10种，两个数差为1有2918种，两个数的差为2的情况有2816种，所以两个数的差不超过2的概率有10181611101025．⑵两个数的差为7的情况有23种．两个数的差为8的情况有224种．两个数的差为9的情况有2种．所以两个数字的差超过6的概率有6423101025.两个数字的差不超过6的概率有32212525.【巩固】小悦掷出了2枚骰子，掷出的2个数字之和恰好等于10的概率有多少？【解析】掷出2个骰子总情况有6×6=36种，其中和为10的有第一次掷出4，第二次掷出6第一次掷出5，第二次掷出5第一次掷出6，第二次掷出4，所以满足条件情况只有三种，所以恰好为10的概率是1/12。【巩固】分别先后掷2次骰子，点数之和为6的概率为多少？点数之积为6的概率为多少？【解析】根据乘法原理，先后两次掷骰子出现的两个点数一共有6636种不同情况．将点数为6的情况全部枚举出来有：1,5：2,4：3,3：4,2：5,1：点数之积为6的情况为：1,6：2,3：3,2：6,1．两个数相加和为6的有5组，一共是36组，所以点数之和为6的概率是536：点数之积为6的概率为41369．【例7】一枚硬币连续抛掷3次，至少有一次正面向上的概率是．【解析】从反面考虑，先求三次都是正面向下的概率，为11112228，所以至少有一次正面向上的概率为17188．【巩固】冬冬与阿奇做游戏：由冬冬抛出3枚硬币，如果抛出的结果中，有2枚或2枚以上的硬币正面朝上，冬冬就获胜；否则阿奇获胜。请问：这个游戏公平吗？【解析】冬冬获胜的概率为，两枚或者两枚以上硬币正面朝上，两枚硬币正面朝上的概率为从三次投掷中选两次正面朝上有3种可能，每种的概率是3个1/2连乘。等于3/8，三枚硬币都正面朝上概率为1/8。所以冬冬获胜的概率为1/2.也就是阿奇获胜概率也是1/2，所以游戏是公平的。【巩固】一枚硬币连续抛4次，求恰有2次正面的概率．8-7.概率与统计.题库教师版page5of16【解析】首先抛掷一枚硬币的过程，出现正面的概率为12，又因为连续抛掷四次，各次的结果之间是相互独立的，所以这是独立事件的重复实验，可得恰有2次正面的概率为241111322228C．另解：每抛一次都可能出现正面和反面两种情况，抛4次共有4216种情况，其中恰有2次正面的有246C种情况，所以恰有2次正面的概率为63168．【巩固】一枚硬币连续抛掷3次，求至少有两次正面向上的概率．【解析】至少有两次正面向上，可分为2次正面向上和3次正面向上两种情形:⑴2次正面向上的：此时只有1次正面向下，可能为第1次、第2次和第3次，所以此时共3种情况；⑵3次正面向上，此时只有一种情况．所以至少有两次正面向上的共有4种情况，而连续抛掷3次硬币，共有2228种情况，所以至少有两次正面向上的概率为：4182．【巩固】阿奇一次指出8枚硬币，结果恰有4枚硬币正面朝上的概率是多少？有超过4枚的硬币正面朝上的概率是多少？【解析】投掷8枚硬币，恰有4次正面朝上，应该从8次中选择4次正面朝上，这四次朝上的概率是4个1/2的联乘，这时不要忘记剩下的4次一定是反面朝上，也是4个1/2的连乘，所以恰好4枚硬币朝上的概率是35/128。利用对称的思想，有超过4枚硬币正面朝上的概率应该和有少于4枚硬币朝上的概率相同，所以有超过4枚硬币正面朝上的概率为（1－35/128）÷2＝93/256【例8】如图所示，将球放在顶部，让它们从顶部沿轨道落下，球落到底部的