2013年高考数学(理科)一轮复习课件第8讲：指数式与指数函数

考纲要求考纲研读1.了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握函数图象通过的特殊点.1.能够根据幂的运算法则进行幂的运算．2．能够利用指数函数的单调性比较大小、解指数不等式．3．会解指数方程，并能利用数形结合的思想判断方程解的个数.1．根式(1)根式的概念一般地，如果xn＝a，那么x就叫做a的n次方根，其中n0且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)根式的性质①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根记作；nana②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们是互为相反数，这时，a的n次方根可记作±na；③(na)n＝a；④当为奇数时，nan＝a；当为偶数时，nan＝|a|＝aa≥0－aa0.⑤0的任何次方根仍是0，记作n0＝0；⑥负数没有偶次方根．2．(1)正数的正分数指数幂的意义mna＝nam(a0，m，n∈N*，且n1)．(2)正数的负分数指数幂的意义mna＝1mna＝1nam(a0，m，n∈N*，且n1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．3．有理指数幂的运算性质(1)aras＝ar＋s(a0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝ars(a0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈Q)．y＝ax(a1)y＝ax(0a1)图象定义域值域性质在R上是增函数在R上是减函数4．指数函数的图象与性质R(0，＋∞)过点(0,1)，即x＝0时，y＝1＝(B)A．{－1,1}C．{0}B．{－1}D．{－1,0})D2．函数y＝ax＋1(a＞0且a≠1)的图象必经过点(A．(0,1)B．(1,0)C．(2,1)D．(0,2)1．已知集合M＝{－1,1}，N＝x∈Z122x＋14，则M∩N3．对任意实数a，下列等式正确的是()D4．方程4x＋2x－2＝0的解是_____.x=03A．211332()aaB．211332()aaC．311535()aaD．131355()aa5．已知实数x满足12x－12x＝1，则x＋1x＝___.考点1指数幂运算例1：计算：解题思路：根式的形式通常写成分数指数幂后进行运算．(1)1.135×－760＋80.25×42＋(32×3)6－2323；(2)21111332256()ababab.解析：(1)原式＝1323×1＋(23)14×214＋(213×312)6－1323＝2＋4×27＝110.(2)原式＝111133221566ababab＝1111153262361.ab由于幂的运算性质都是以指数式的形式给出的，所以对既有根式又有指数式的代数式进行化简时，要先将根式化给出的，则结果用根式的形式表示；如果题目是以分数指数幂的形式给出的，则结果用分数指数幂的形式表示；结果不要同时含有根号和分数指数幂．成指数式的形式，依据为nma＝man；如果题目是以根式的形式【互动探究】考点2指数函数的图象例2：偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0,1]时，f(x)A．1个B．2个C．3个D．4个1．若x0，则(2x14＋332)(2x14－332)－4x12(x－x12)＝_____.－23＝x2，则关于x的方程f(x)＝110x在0，103上根的个数是()解析：由f(x－1)＝f(x＋1)知f(x)是周期为2的偶函数，故当x[－1,1]时，f(x)＝x2.答案：C图D4由周期为2可以画出图象如图D4，结合y＝110x的图象可知，方程f(x)＝110x在x∈0，103上有三个根，要注意在x∈3，103内无解．答案：C(0a1)的图象的大致形状是(【互动探究】2．函数y＝xax|x|)D考点3指数函数的性质及应用(1)求f(x)的解析式；(2)证明f(x)在[0，＋∞)上是增函数．例3：函数f(x)＝12(ax＋a－x)(a0且a≠1)的图象经过点2，419.∵a0且a≠1，∴a＝3或a＝13.当a＝3时，f(x)＝12(3x＋3－x)．当a＝13时，f(x)＝1213x＋13－x＝12(3x＋3－x)．∴所求解析式为f(x)＝12(3x＋3－x)．解析：(1)∵f(x)的图象过点2，419，∴12(a2＋a－2)＝419，即9a4－82a2＋9＝0.解得a2＝9或a2＝19.(2)设x1，x2∈[0，＋∞)，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝1122333322xxxx＝12(13x－23x)＋12·21123333xxxx＝12(13x－23x)1212313xxxx.由0≤x1x2,13x－23x0且123xx1，∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．因此f(x)在[0，＋∞)上是增函数．我们所要研究的函数都是将一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数等通过加减乘除或者复合而成的．f(x)＝3x＋3－x2可以看做y＝3x2与y＝3－x2相加而得到；也可通过y＝12t＋1t，t＝3x复合而成．因此可利用复合函数的单调性判断f(x)＝3x＋3－x2的单调区间．【互动探究】3．对于函数f(x)的定义域中任意的x1，x2(x1≠x2)，有如下结论：①f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；③fx1－fx2x1－x20；④fx1－1x10x1≠0；⑤f(－x1)＝1fx1.当f(x)＝12x时，上述结论中正确结论的序号是____________.解析：因为f(x)＝12x，f(x1＋x2)＝1212xx＝112x·212x＝f(x1)·f(x2)，所以①成立，②不成立；显然函数f(x)＝12x单调递减，即fx1－fx2x1－x20，故③成立；当x10时，f(x1)1，fx1－1x10，当x10时，0f(x1)1，fx1－1x10，故④成立；f(－x1)＝11122xx＝1fx1，故⑤成立．答案：①③④⑤思想与方法1．运用分类讨论的思想讨论指数函数的单调性b满足ab≠0.(1)若ab0，判断函数f(x)的单调性；(2)若ab0，求f(x＋1)f(x)时x的取值范围．例题：(2011年上海)已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，∵1222xx，a0⇒a(1222xx)0，1233xx，b0⇒b(1233xx)0，∴f(x1)－f(x2)0，函数f(x)在R上是增函数．当a0，b0时，同理可证函数f(x)在R上是减函数．(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x0.当a0，b0时，32x－a2b，则x32log－a2b；当a0，b0时，32x－a2b，则x32log－a2b.解析：(1)当a0，b0时，对于任意x1，x2∈R，且x1x2，有f(x1)－f(x2)＝a(121222)(33)xxxxb，(1)中ab0，包括a0，b0和a0，b0两种情形；(2)中ab0，也包括a0，b0和a0，b0两种情形．分类讨论就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略．1．分数指数幂的定义揭示了分数指数幂与根式的关系，因此在运算过程中，要贯彻先化简后运算的原则，并且要注意运算的顺序．2．利用指数函数的单调性可比较两个幂的大小．当幂的底数、指数都不同时，可选择中间量进行比较．根式的运算可以先转化成分数指数幂的形式再运算，依据为nma＝man，在指数函数解析式中，必须时刻注意底数a0且a≠1，对于指数函数的底数a，在不清楚其取值范围时，应树立分类讨论的数学思想，分a1和0a1两种情况进行讨论，以便确定其性质．