贝叶斯统计复习

贝叶斯统计习题1.设是一批产品的不合格率，从中抽取8个产品进行检验，发现3个不合格品，假如先验分布为（1）U0,1（）（2）21-01=0,（），（）其它求的后验分布。解：111335368000362(|)(1)*2(1)112(1)15(|)840(1),01mxpxdCddpxxmx2．设12,,,nxxx是来自均匀分布U0,（）的一个样本，又设的先验分布为Pareto分布，其密度函数为+1000/=0,，（）其中参数00,0，证明：的后验分布仍为Pareto分布。解：样本联合分布为：1(),0npxx1000/,()0,110101()()()/1/,max,,,nnnxpxxx因此的后验分布的核为11/n，仍表现为Pareto分布密度函数的核即1111()/,()0,nnnx即得证。3．设12,,,nxxx是来自指数分布的一个样本，指数分布的密度函数为-(|)=,0xpxex，（1）证明：伽玛分布(,)Ga是参数的共轭先验分布。（2）若从先验信息得知，先验均值为0.0002，先验标准差为0.0001，确定其超参数,。解：111()1()()()()(),.niixnnnxnnxpxeeexpxeGannx样本的似然函数：参数的后验分布服从伽马分布220.0002(2)4,20000.0.00014.设一批产品的不合格品率为，检查是一个接一个的进行，直到发现第一个不合格品停止检查，若设X为发现第一个不合格品是已经检查的产品数，则X服从几何分布，其分布列为-1(=|)=1-,=1,2,xPXxx假如只能以相同的概率取三个值1/4,2/4,3/4，现只获得一个观察值=3x，求的最大后验估计ˆMD。解：的先验分布为在给定的条件下，X=3的条件概率为联合概率为X=3的无条件概率为的后验分布为5。设x是来自如下指数分布的一个观察值，-(-)(|)=e,xpxx取柯西分布作为的先验分布，即21=,-1+求的最大后验估计ˆMD。解后验密度6.设12=(,,,)nxxxx是来自均匀分布(0,)U的一个样本，又设服从Pareto分布，密度函数为+1000/=0,，（）求的后验均值和后验方差。解：的先验分布为：1000/,()0,令101max,,,nxx可得后验分布为：1111()/,()0,nnnx则的后验期望估计为：1()()1nExn，后验方差为：212()()(1)(2)nVarxnn.7.设x服从伽玛分布1(,)22nGa，的分布为倒伽玛分布(,)IGa，（1）证明：在给定x的条件下，的后验分布为倒伽玛分布(+,+)22nxIGa。（2）求的后验均值与后验方差。解：由1~(,),~(,)22nxGaIGa可以得出211221()2(),0()2nnxpxxexn(1)(),0()e（1）的后验分布为：2(1)22()()()xnxpxe即为倒伽玛分布(,)22nxIGa的核。所以的后验分布为(,)22nxIGa（2）后验均值为22()2212xxExnn后验方差为22()2()(1)(2)22xVarxnn8.对正态分布(,1)N作观察，获得三个观察值：2，3，5，若的先验分布为(3,1)N，求的0.95可信区间。9.设某电子元件的失效时间X服从指数分布，其密度函数为-1(|)=exp{-x/},xpx若未知参数的先验分布为倒伽玛分布(1,0.01)IGa。计算该种元件在时间200之前失效的边缘密度。解：23022002002001exp,00.010.01exp,00.010.01exp0.01,00.012000.010.999950.01xpxxxmxpxddxxpmxdxdxx解：依题意则该元件在时间之前失效的概率:10.设12,,,nXXX相互独立，且,=1,,iiXPin。若12,,,n是来自伽玛分布,Ga的一个样本，找出对12=(,,,)nXxxx的联合边缘密度。解：11011:!,0!1!1!iiiiiiiixiiiiiiixiiiiiiiiiixinnniixiiipxexemxpxdeedxxxxmxmxx解依题意11.某厂准备一年后生产一种新产品，如今有三个方案供选择：改建本厂原有生产线（1a）,从国外引进一条自动化生产线（2a）；与兄弟厂协助组织“一条龙”生产线（3a）。厂长预计一年后市场对此产品的需求量大致可分为三种：较高（1）；一般（2）；较低（3）。假设其收益矩阵为（单位：万元），700980400=250-50090-200-800-30Q假设厂长根据自己对一年后市场需求量是高，中，低，给出的主观概率分别为0.6,0.3，0.1。求在悲观准则，乐观准则，和先验期望准则下的最优行动。解：悲观准则下：首先行动1a，2a，3a的最小收益分别为-200，-800，-30,。然后选出其中最大的收益为-30，从而最优行动为3a乐观准则下：首先行动1a，2a，3a的最大收益分别为700，980，400,。然后选出其中最大的收益为980，从而最优行动为2a。先验期望准则下：各行动的先验期望收益为从而最优行动为1a。12.某水果店准备购进一批苹果投放市场，市场需求量和采购量都在500至2000公斤之间，已知其收益函数为0.8-0.38,5000.9(,)0.34,0.92000aaQaaa，假设的先验分布为500,2000上的均匀分布，该店应购进多少苹果可使先验期望收益最大？解：先验期望收益为当a=1343时，先验期望达到最大，故应购进1343公斤苹果。13.设某决策问题的收益函数为1218+20,=,-12+25,=aQaa，若服从0,10上的均匀分布，（1）求该决策问题的损失函数。（2）在先验期望损失最小的原则下寻求最优行动。解：0121212121212101662011820122566,,,0,3056,,,530,00,1015304101305910.QaQaaaLaLaQaQaaaLaLaLadLada当时，，则在和处的损失函数为当时，，则在和处的损失函数为服从上的均匀分布最优行动是14.一位卖花姑娘每晚购进鲜花第二天去卖，假设每束花的购进价格为1元，售价为6元，若当天卖不掉，因枯萎而不能再卖。根据经验一天至少能卖5束鲜花，最多能卖10束鲜花。（1）写出状态集和行动集。（2）写出收益函数。（3）在折中准则下，对乐观系数的不同值，讨论卖花姑娘前一天应购进几束鲜花为好。解：：12345612345615,6,7,8,9,10,5,6,7,8,9,1025,10,6,52524232221202530292827262530353433322530354039382530354045442530354045503aaQaaaaaaaaaQH状态集行动集收益函数收益矩阵按折中准则：12345616max,1min,252462312221821242030105611106QaQaHHHHHHaa当时，选择，每天摘朵鲜花当时，选择，每天摘朵鲜花.15.在二行动决策问题中，收益函数为12-12+25,=,18+20,=aaQaaa若2(10,4)N，计算先验EVPI。解：210216bbmm21221200000~10,4,10,,5,4,10,61,10.08332**0.08332*5*41.6664NNNNEmmatmmDLDLEVPILDt最优行动为16.在二行动决策问题中，收益函数为12-12+25,=,18+20,=aaQaaa若2(10,)N，对=4,3,2,1，分别计算先验EVPI。解：0003**=0.04270*5*3=0.64052**=0.008491*5*2=0.084911**=0.000007145*5*1=0.000035725NNNEVPILtEVPILtEVPILt，，，