2.2.1-等差数列的概念及通项公式

边城高级中学张秀洲1、通过实例，理解等差数列的概念．2、探索并掌握等差数列的通项公式．3、体会等差数列与一次函数的关系．自学教材P36—P38解决下列问题一、探索并掌握等差数列的通项公式．二、完成《导学案》.请你说出本月的星期天依次是几号?得到的数列:1,8,15,22,29引例一引例二姚明刚进NBA一周训练罚球的个数：第一天：600，第二天：650，第三天：700，第四天：750，第五天：800，第六天：850，第七天：900.得到数列：600，650，700，750，800，850，900引例三某品牌运动鞋（女）的尺码（鞋底长,单位是cm）11222323,242211242525,2622，，，，，，11222323,242211242525,2622得到数列：，，，，，，姚明罚球个数的数列：600，650，700，750，800，850，900发现？观察：以上数列有什么共同特点？对于每个数列而言,从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。三月的星期天对应日期的数列：1,8,15,22,29观察归纳2124212321252122，23，，24，，25，，26运动鞋尺码的数列一、等差数列的概念一般地说，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。an-an-1=d(n∈N*,n≥2){an}为等差数列观察下列数列是否是等差数列：2-3,-2,1,3,5,7,11,2,4,6,8,10,12,33,3,3,41,2,4,7,3,311,,16,,31、等差数列要求从第2项起，后一项与前一项作差.不能颠倒.2、作差的结果要求是同一个常数.可以是正数，也可以是０和负数.二、等差中项在如下的两个数之间插入一个什么数之后这三个数会成为一个等差数列。（1）2，____,8（2）-6，____,0（3）a,____,b如果a,A,b三个数成等差数列，这时我们称A为a与b的等差中项。利用等差数列的概念可知：2abA5-32ab练习.等差数列{an}的前三项依次为a-6，-3a-5，-10a-1，则a等于（)A.1B.-1C.-D.31115A姚明刚进NBA一周训练罚球的个数：第一天：600，第二天：650，第三天：700，第四天：750，第五天：800，第六天：850，第七天：900.得到数列：600，650，700，750，800，850，900想一想:姚明第十五天训练罚球的个数是多少呢?三、等差数列的通项公式如果一个数列a1,a2,a3…an…是等差数列，它的公差是d，那么21aad归纳猜想得:3211()2aadaddad4311(2)3aadaddad5411(3)4aadaddad1(1)naand当n=1时，上式两边都等于a1∴等差数列的通项公式是:an=a1+(n-1)dn∈N*不完全归纳法∵{an}是等差数列，则有21aad32aad43aad1nnaad…把上边由（1）式到最后一个式子，共_____个式子相加，则有：n-11(1)naandan=a1+(n-1)d当n=1时,上式两边都等于a1即证！累加法通项公式的证明等差数列的通项公式是:an=a1+(n-1)dn∈N*(2)、知道其中的任意三个量，就可以求出另一个量，即知三求一.(1)、通项公式中含有a1、d、n、an四个量，其中a1、d为基本量，当确定后，通项公式就确定了！探究：已知等差数列{an}中，公差为d，则an与am(n,m∈N*)有何关系？解：由等差数列的通项公式知①－②，dmaam)1(1，dnaan)1(1①②，dmnaamn)(（这是等差数列通项公式的推广形式）.)(dmnaamn推广后的通项公式(n-m)ddaamnmnaamn四、等差数列与一次函数的关系【探究】已知数列{an}的通项公式an=pn+q，其中p、q是常数，且p不为0，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，其首项与公差分别是什么？111,.,(1),.(1),.{}nnnnnnnaanNapnqapnqnNaapnqpnqpnNna解：取数列中的任意相邻两项与它是一个与无关的常数。所以是等差数列。1.apqp首项为，公差为数列{an}为等差数列an=pn+qp、q是常数.说明：证明数列是等差数列的又一常用方法等差数列的图象1（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…12345678910123456789100●●●●●●●24,.24,.nnnNyxxRa等差数列的图象2（2）数列：7，4，1，-2，…12345678910123456789100●●●●310,.310,.nnnNyxxRa等差数列的图象3（3）数列：4，4，4，4，4，4，4，…12345678910123456789100●●●●●●●●●●等差数列的图象为相应直线上的点。4,.4,.nnNyxRa1.等差数列的通项公式是什么类型的函数？其图像什么样？2.当公差0d时，{an}的单调性什么样？0d呢？0d呢？从函数角度来看，an=dn+(a1-d)是关于n的一次函数(d≠0时)或常数函数(d=0时)，其图像是一条射线上一些间距相等的点当d=0时，{an}为常数列.当d0时，{an}为递增数列.当d0时，{an}为递减数列.你能根据前面所学内容，找到3种如何判断一个数列是否为等差数列的方法吗？五、等差数列的判定(1)定义法：1nnaa常数（*nN）na为等差数列；(2)中项公式法：122nnnaaa（*nN）na为等差数列；(3)通项公式法：napnq（*nN）(关于n的“一次函数”)na为等差数列；例1(1)求等差数列8，5，2，…，的第20项。49)3()120(820a(2)等差数列-5，-9，-13，…，的第几项是–401？解：,401,4)5(9,51nada因此，)4()1(5401n解得100n解：,20,385,81nda在等差数列{an}中，a5=10，a12=31，求a1，d，a20，an.由题意得：511214101131aadaad解之得：a1=-2，d=3∴an=a1+(n-1)d=-2+(n-1)·3=3n-5n∈N*∴a20=20×3-5=55例2：已知数列的通项公式为61nan，证明na是等差数列，并求首项与公差。111616(1)16565(61)6{}615,6nnnnnanannaannaad是等差数列.首项为公差为22111{}7lglg7(2)lg7lg(3)lg7lglg(3)lg7(2)lg7lg7lg=3lg7{lg}3lg7lg7.nnnnnnnnnaaananaannaa数列的通项公式是而是以为首项，为公差证明的等差数列：※已知数列na的通项公式是27nna，求证：数列lgna是等差数列。2020年3月22日星期日【跟踪训练展我风采】2020年3月22日星期日你学会了吗?※对自己说，你有什么收获？※对同学说，你有什么提示？※对老师说，你有什么疑惑？本节课学习的主要内容有：等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列的判定本节课的能力要求是：(1)理解等差数列的概念；(2)掌握等差数列的通项公式；(3)能用公式解决一些简单的问题.dnaan)1(1daann1）（2ndmnaamn)(【预习】课本P42-P45《等差数列的前n项和》必做题：《教材》P40A组1题B组2题选做题：《学案》学以致用拓展延伸2020年3月22日