3.4基本不等式(课用)2011.6

北京第２４届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的＂弦图＂设计的。新课引入abS21直角三角形22Sab正方形ABCD4SS正方形ABCD直角三角形abba222ABCDE(FGH)ababba2证明基本不等式：)0,0(ba要证：只要证：要证②，只要证要证③，只要证abba2abba2①②③④02abba0)(2ba④式显然成立.当且仅当a=b时，④中的等号成立.分析法：执果索因在圆中，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD.你能利用这个图形，得出不等式的几何解释吗？abba2ABCDEabab例1（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？解：（1）设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.2xyxy2100,xy2()40xy等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.结论1：两个正数积为定值，则和有最小值例1.（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？结论2：两个正数和为定值，则积有最大值例题讲解：例1、已知PxySyxRyx,,、，求证：（1）如果P是定值，那么当且仅当yx时，S的值最小，且最小值为P2；（2）如果S是定值，那么当且仅当yx时，P的值最大，且最大值为42S。