2012-2013学年秋季学期《微积分A4》(A卷)答案

第1页(共5页)上海大学2012～2013学年秋季学期试卷A卷微积分A（四）（课程号01014099）参考答案和评分标准应试人声明：我保证遵守《上海大学学生手册》中的《上海大学考场规则》，如有考试违纪、作弊行为，愿意接受《上海大学学生考试违纪、作弊行为界定及处分规定》的纪律处分。应试人应试人学号应试人所在院系题号一二三四五六得分15152028166得分评卷人一.单项选择题：（每小题3分，共15分）1、幂级数112nnnnx的收敛域为（A）A、(2,2)B、[2,2)C、(2,2]D、[2,2]2、设幂级数0nnnax、0nnnbx和0()nnnnabx收敛半径分别为1R、2R和R，则（B）A、12min{,}RRRB、12min{,}RRRC、12max{,}RRRD、12max{,}RRR3、微分方程sinyyxx必有如下形式的特解(D)A、()cosAxBxB、()sinAxBxC、()cos()sinAxBxCxDxD、22()cos()sinAxBxxCxDxx4、设L为抛物线2yx上从点(0,0)到点(1,1)的弧段，则曲线积分dLys（B）A、12014dxxB、12014dxxxC、101dyyyD、1101dyyy5、设L为正方向的圆周222xya，则曲线积分22ddLxyyxyx(C)A、0B、4πaC、4π2aD、42πa得分评卷人二.填空题：（每小题3分，共15分）6、2x的麦克劳林展开式为0(ln2)(,)!nnnxxn；7、幂级数11nnnx在(1,1)上的和函数为21(1)x；8、微分方程20yyy的通解为12()exyCCx；9、设为平面zxy被柱面222xya所限的部分，则的面积为23πa；10、设为球面2222xyza的外侧，则曲面积分22()ddxyxy0。草稿区成绩第2页(共5页)得分评卷人三.计算下列各题：（每小题5分，共20分）11、设L是方程为3311cos,sin(02π)33xtytt的星形线，求其弧长。解：222222d()()d(cossin)(sincos)dcossindsxytxxxxtxxt，2分1分由对称性，π20d4cossind2Lssttt1分1分12、计算曲面积分2222dxyzS，其中是半锥面22zxy上01z的部分。解：22222222d1dd1dd2ddxyxySzzxyxyxyxyxy，2分1分原式22dd2πDxy，其中D表示在xOy面上的投影1分1分13、计算曲线积分22ddLyxxyIxy，其中L是正方向的椭圆22149xy。解：记l为反方向的单位圆，D为l与L所界区域，2222,yxPQxyxy，由格林公式122dddd0dd0LlDDyxxyQPIxyxyxyxy，1分1分而222222200ddsind(cos)cosd(sin)d2πcossinlyxxyttttItxytt，1分1分故122πIII1分14、设向量场()()()Axxyziyxyzjzxyzk，求散度divA和旋度rotA。解：记Pxxyz，Qyxyz，Rzxyz，则3PQRdivAyzzxxyxyz，1+1分()()()ijkrotAxzyiyxzjzyxkxyzPQR2+1分草稿区第3页(共5页)得分评卷人四.计算下列各题：（每小题7分，共28分）15、求微分方程2()0yyy满足初始条件01xy和012xy的解。解：令py，则ddpypy，方程在0x附近可化为ddpypy，1+1+1分在两端积分并化简11pCy，1分由初始条件0x时，1y和12p112C，即有d1d2yxy，1分在2ddyyx两端积分：22yxC，再由初始条件21C，故21yx或1yx1分1分16、求微分方程2cos(ln)xyxyyx的通解。解：令lntx，有D(D1)Dcosyyyt，即22dcosdyytt（*）1+1+1分特征方程210r的根1,21r，（*）有特解cossinyAtBt，1+1分代入（*）12A，0B，即1cos2yt，1分（*）的通解121eecos2ttyCCt，故原方程通解1121cos(ln)2yCxCxx1分17、将21()2fxxx展开为(1)x的幂级数，并指出其收敛域。解：111()321fxxx，利用01,(1,1)1nnxxx，2+1分011(1)(1)21(1)nnnxxx，0111(1)11222(1)2nnnxxx，1+1分故1011()(1)(1)32nnnnfxx，收敛域为(2,0)1+1分18、求幂级数+21(2)nnxnn在[1,1]上的和函数。解：+2+221111(2)22nnnnnnxxxxnnnn，[1,1)x，1分11111nnnnxxnx，2+1111(1)21nnnnxxxnx，(1,1)x，1分1分1ln(1)nnxxn，221ln(1)22nnxxxxn，[1,1)x，1分2分故+22211(1)ln(1)(2)22nnxxxxxnn，[1,1]x1分草稿区第4页(共5页)得分评卷人五.计算下列各题：（每小题8分，共16分）19、计算曲面积分2ddddddIxyyzxyzxzxy，其中是半球面222(1)1xyz，01z的上侧。解：添一平面1：221(1)zxy，并取下侧，则1构成一封闭曲面（取内侧），记所围区域为，1在xOy面上的投影22:1Dxy，由高斯公式121dddddd(21)dIxyyzxyzxzxyyxyv2分注意到对称性，d0,2d0,yvxyv有12dπ3Iv，1+1+1分而122ddddddddπDIxyyzxyzxzxyxy，1+1分故12π3III1分20、设()fx二阶连续可微，且使曲线积分()1d()sindLfxyxfxxy与路径无关，试求所有满足条件的函数()fx。解：记()1Pfxy，()sinQfxx，由积分与路径无关的条件QPxy2分有()cos()1fxxfx，即()()1cosfxfxx，（*）1分由于特征方程20rr的根10r，21r，1分（*）有特解()(cossin)fxAxBxCx，1+1分代入（*）1A，12BC，1分故121()e(cossin)2xfxCCxxx1分草稿区第5页(共5页)得分评卷人六.应用题：（共6分）21、有甲乙两人，乙对甲采取盯梢，即乙的行进方向指向甲的位置并保持与甲的距离不变。若甲和乙的初始位置坐标分别为(0,0)和(1,0)，且甲沿y轴正向行进，试求出乙行进的轨迹方程。解：设同一时刻甲和乙的位置坐标分别为(0,)y和(,)xy，由乙的行进方向与乙甲位置的连线一致可得dd0yyyxx2分又由于甲乙的初始距离为1，且距离始终保持不变，故有21yyx，1分2d1dyxxx，1分从而222111dln1xxyxxCxx（可通过代换sinxt完成计算）1分将1x时0y代入0C，即乙行进的轨迹方程为2211ln1xyxx1分草稿区