测量误差基本知识

第3章测量误差基本知识3.1测量误差概述一、测量误差1.测量误差（ObservationMagementError）观测量的观测值与其真值之差，包括观测误差和模型误差。观测误差：观测值发生的偏差。如：对同一量进行多次观测，其结果通常略有差异。模型误差：数学模型不恰当而导致待求量发生的偏差。如：RShRSh2222二、观测误差产生的原因1.仪器的原因（InstrumentalErrors）每一种测量仪器具有一定的精确度，使测量结果受到一定的影响。另外，仪器结构的不完善，也会引起观测误差。2.观测者的原因（PersonalErrors）由于观测者的感觉器官的辨别能力存在局限性，在仪器对中、整平、瞄准、读数等操作时都会产生误差。3.外界环境的影响（NaturalErrors）测量作业环境的温度、气压、湿度、风力、日光照射、大气折光、烟雾等客观情况时刻在变化，使测量结果产生误差。例如，温度变化使钢尺产生伸缩，风吹和日光照射使仪器的安置不稳定，大气折光使望远镜的瞄准产生偏差等。三、测量误差的分类与处理原则1.系统误差（SystematicError）在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。如：测距仪的固定误差和比例误差等。系统误差对观测结果的影响具有累积性，因而对成果质量的影响也特别显著。但由于它具有规律性，可采用下列方法消除或削弱其影响：计算改正数。采用一定的观测方法。2.偶然误差（AccidentError，&RandomError）在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果误差在大小、符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，其大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。如读数误差、照准误差等。偶然误差是不可避免的，且具有统计规律性，可应用数理统计的方法加以处理。3.粗差（Blunder,&GrossError）观测数据中存在的错误，称为粗差。是由于作业人员的粗心大意或各种因素的干扰造成的，如瞄错目标、读错大数，光电测距、GPS测量中对载波信号的干扰等。粗差必须剔除，而且也是可以剔除的。4.误差处理原则在进行观测数据处理时，按照现代测量误差理论和测量数据处理方法，可以消除或减弱系统误差的影响；探测粗差的存在并剔除之；对偶然误差进行适当处理，来求得被观测量的最可靠值。四、偶然误差的特性设某一量的真值为X，在相同的观测条件下对此量进行n次观测，得到的观测值为l1，l2，…，ln，在每次观测中产生的误差（又称“真误差”）为Δ1，Δ2，…Δn，则定义),,2,1(nilXii实例在某一测区，在相同的观测条件下共观测了358个三角形的全部内角，由于每个三角形内角之和的真值（180°）为已知，因此，可以上式计算每个三角形内角之和的真误差Δi，将它们分为负误差和正误差，按误差绝对值由小到大排列次序。以误差区间dΔ=3″进行误差个数k的统计，并计算其相对个数k／n（n＝358），k／n称为误差出现的频率。误差区间dΔ负误差正误差误差绝对值KK/nKK/nKK/n0～3450.126460.128910.2543～6400.112410.115810.2266～9330.092330.092660.1849～12230.064210.059440.12312～15170.047160.045330.09215～18130.036130.036260.07318～2160.01750.014110.03121～2440.01120.00660.01724以上000000Σ1810．5051770．4953581.000由此，可以归纳出偶然误差的特性如下：界限性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。聚中性：绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小。对称性：绝对值相等的正、负误差具有大致相等的出现频率。抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零，即：0lim21limnnnnn由上图可以看出：偶然误差的出现符合正态分布，其分布曲线的方程式为：+3+6+9+12+15+18+21+24X=Δ-24-21-18-15-12-9-6-3dnk0(1)21)(222ef式中，参数σ为观测误差的标准差。从中可以看出正态分布具有偶然误差的特性。即f(△)是偶函数，即绝对值相等的正、负误差求得的f(△)相等，故曲线对称于纵轴。△越小，f(△)越大；△越大，f(△)越小。当△=0时，f(△)最大，其值为当21，0)(f方差为偶然误差平方的理论平均值：标准差为由上式可知，标准差的大小决定于在一定条件下偶然误差出现的绝对值的大小。由于在计算标准差时取各个偶然误差的平方和，因此，当出现有较大绝对值的偶然误差时，在标准差的数值大小中会得到明显的反映。(2)][2222212limlimnnnnn(3)][][limlim2nnnn3.2衡量精度的标准一、精度（Precision）测量值与其真值的接近程度准确度（Accuracy）：表示测量结果与其真值接近程度的量。反映系统误差的大小。精密度（Precision）：表示测量结果的离散程度。反映偶然误差的大小量。二、衡量精度的指标1.中误差（rootmeansquareerror）根据偶然误差概率分布规律，以标准差σ为标准衡量在一定观测条件下观测结果的精度是比较合适的。在测量中定义：按有限次观测的偶然误差求得的标准差为中误差，用m表示，即nnmn][22221两组观测值的误差绝对值相等m1m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成果的精度次序第一组观测第二组观测观测值真误差ΔΔ２观测值真误差ΔΔ２１180°00ˊ03-39180°00ˊ0000２180°00ˊ02-24179°59ˊ59+11３179°59ˊ58+24180°00ˊ07-749４179°59ˊ56+416180°00ˊ02-24５180°00ˊ01-11180°00ˊ01-11６180°00ˊ0000179°59ˊ59+11７180°00ˊ04-416179°59ˊ52+864８179°59ˊ57+39180°00ˊ0000９179°59ˊ58+24179°59ˊ57+39１０180°00ˊ03-39180°00ˊ01-11Σ||247224130中误差-m2-m1+m1+m2XY)(1f)(2f121m221m不同中误差的正态分布曲线7.21021m6.31022m2.相对误差（relativeerror）观测值的中误差与观测值之比，一般用分子为1的分式表示。例如：用钢卷尺丈量200m和40m两段距离，量距的中误差都是±2cm，可见其精度相同，但前者的相对中误差为0.02／200＝1／10000，而后者则为0.02／40＝l／2000，显然前者的量距精度高于后者。3.极限误差（limiterror）根据正态分布曲线，可以表示出偶然误差出现在微小区间dΔ中的概率：根据上式的积分，可得到偶然误差在任意大小区间中出现的概率。设以k倍中误差作为区间，则在此区间中误差出现的概率为：demdfpm22221)()(demkmPmkmkm22221)(分别以k＝1，2，3代入上式，可得到偶然误差的绝对值不大于中误差、2倍中误差和3倍中误差的概率：由此可见，偶然误差的绝对值大于2倍中误差的约占误差总数的5%，而大于3倍中误差的仅占误差总数的0.3%。一般进行的测量次数有限，2倍中误差应该很少遇到，因此，以2倍中误差作为允许的误差极限，称为允许误差，简称“限差”，即Δ允＝2m现行测量规范中通常取2倍中误差作为限差。0000007.99997.0)3(4.95954.0)2(3.68683.0)(mPmPmP3.3误差传播定律一、误差传播定律观测值的误差对观测值函数的影响。用观测值的中误差去表征待求量中误差的数学模型，则为中误差传播定律。二、线性函数的中误差传播定律设Xi（i=1,2,…,n）是一组独立观测量，而Y是Xi的函数，即：(1)22110nnXaXaXaaY式中，系数ai已知，且假定无误差。设xij是第i个观测量的第j次观测值，则按上式求出待定量的计算值yj为：将（1）式减去（2）式得：(2)22110njnjjjxaxaxaay。式中，YyyXxaaayjjijijnjnjjj,2211当对Xi各观测k次时，上式将共有k个，分别将各式两边平方，并对k个式求其和，再除以观测次数k，考虑到偶然误差的抵偿性，可得：顾及中误差的定义公式，并设Xi的中误差为mi，则可得：kakakakyynnn2222211212222222121nnYmamamam三、非线性函数的中误差传播定律设有非线性函数Y=f（X1，X2，…，Xn），Xi（i=1,2,…,n）为独立观测量，并设Xi的中误差为mi，为此，可先将非线性函数线性化，然后再按线性函数处理。nnyXfXfXf22112222222121nnYmXfmXfmXfm四、误差传播定律的应用1.步骤：列出正确的函数模型注意：模型符合测量事实；观测量各自独立非线性函数线性化运用误差传播定律2.应用举例例1：用尺长为l的钢尺丈量距离S，共丈量4个尺段，设丈量一个尺段的中误差为m，试求S的中误差。解一：应用误差传播定律得：llllSmmmmmmS22222解二：应用误差传播定律得：由两种解算方法的结果可以看出：距离S的中误差不相等，显然，解二的数学模型是错误的。lllllS4mmmS4422例2：设有函数。若X、Y为独立观测量，其观测值中误差为mx、my，试求U的中误差。解一：由线性中误差传播定律，显然有：则有：YXZZYXU3,而2222222)3(yxzzyxUmmmmmmm，而22210yxUmmm解二：由于应用线性函数中误差传播定律，得：即：显然，这两种解法中至少有一种解法是错误的。解法一中由于未考虑观测量的独立性，显然是错误的。222)2()4(yxUmmm22416yxUmmmYXZYXU24例3：设有函数若观测值d=180.23m，中误差md=±0.05m；δ=61°22′10″，其中误差为mδ=±20″，试求y的中误差。解：故有：sindy002.02)(2)cos(22)(sin2)(2)(22)(2mddmmydmdyymmmy045.0思考题1、设自已知点A向待定点B进行水准测量，共观测n站。设每站的观测精度相同，其中误差为m站，试求A、B两点间高差的中误差。2、设等精度观测n个三角形的三个内角，获得n个三角形内角和的闭和差，试求测角中误差。例4：水平角观测限差的制定水平角观测的精度与其误差的综合影响有关，对于J6光学经纬仪来说，设计时考虑了有关误差的影响，保证室外一测回的方向中误差为±6″。实际上，顾及到仪器使用期间轴系的磨损及其它不利因素的影响，设计精度一般小于±6″，新出厂的仪器，其野外一测回的方向中误差小于±6″，在精度上有所富裕。对于水平角观测的精度，通常以某级经纬仪的标称精度作为基础，应用误差传播定律进行分析，求得必要的数据，再结合由大量实测资料经统计分析求得的数据，考虑系统误差的影响来确定。下面仅以标称精度为基础进行分析。3.3误差传播定律设J6经纬仪室